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[NOIP2006 普及组] 开心的金明

题目描述

金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过 $N$ 元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的 $N$ 元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为 $5$ 等：用整数 $1-5$ 表示，第 $5$ 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过 $N$ 元（可以等于 $N$ 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第 $j$ 件物品的价格为 $v[j]$ ，重要度为 $w[j]$ ，共选中了 $k$ 件物品，编号依次为 $j_1,j_2,…,j_k$ ，则所求的总和为：

$v[j_1] \times w[j_1]+v[j_2] \times w[j_2]+ …+v[j_k] \times w[j_k]$ 。

请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。

输入格式

第一行，为 $2$ 个正整数，用一个空格隔开： $n,m$ （其中 $N(<30000)$ 表示总钱数， $m(<25)$ 为希望购买物品的个数。）

从第 $2$ 行到第 $m+1$ 行，第 $j$ 行给出了编号为 $j-1$ 的物品的基本数据，每行有 $2$ 个非负整数 $v p$ （其中 $v$ 表示该物品的价格 $(v \le 10000)$ ， $p$ 表示该物品的重要度( $1-5$ )

输出格式

$1$ 个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值 $(<100000000)$ 。

样例输入

样例输出

题目分析

设 $f[i][j]$ 表示所有从前 $i个$ 物品选，且总体积不超过 $j$ 的选法集合中的价值最大值。

$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-v] + v\times w)$

则 $f[n][m]$ 表示从前 $n$ 种物品中选，且总体积不超过为 $m$ 的所有选法集合的价值最大值，即为答案。

同样可以优化为一维。

Accept代码 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 30010;

int n, m;
int f[N];

int main()
{
    cin >> m >> n;

    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int v, w;
        cin >> v >> w;
        w *= v;
        for (int j = m; j >= v; j -- )
            f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
    }

    cout << f[m] << "\n";

    return 0;
}

[NOIP2006 普及组] 开心的金明（19-19）