08 子序列问题（连续与不连续）

不连续类型问题

1、最长上升子序列

题目简介：

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例：
输入： nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]
输出： 4
解释： 最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

题解：

1、dp[i]的定义：dp[i]表示i之前包括i的以nums[i]结尾的最长递增子序列的长度。

2、状态转移方程：位置i的最长升序子序列等于j从0到i-1各个位置的最长升序子序列 + 1 的最大值。所以：if (nums[i] > nums[j]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

3、dp[i]的初始化：每一个i，对应的dp[i]（即最长递增子序列）起始大小至少都是1。

4、确定遍历顺序：dp[i] 是由0到i-1各个位置的最长递增子序列 推导而来，那么遍历i一定是从前向后遍历。j其实就是遍历0到i-1，那么是从前到后，还是从后到前遍历都无所谓，只要吧 0 到 i-1 的元素都遍历了就行了。 所以默认习惯 从前向后遍历。遍历i的循环在外层，遍历j则在内层。

5、举例推导dp数组。

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];    //创建dp数组，大小为原数组大小
        Arrays.fill(dp, 1);    //全部初始化为1
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {    //外层i遍历数组所有元素
            for (int j = 0; j < i; j++) {    //内层j遍历0~i-1所有值
                if (nums[i] > nums[j]) {    //i代表的元素大于j代表的元素，则表示是递增的
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);    //而dp[i]就等于自身和dp[j] + 1的最大者
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {    //遍历找出dp数组中最大的递增子序列长度，因为中间可能隔断，因此dp数组最后一位不一定代表最大
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }
        return res;    //返回该长度res
    }

2、最长公共子序列

题目简介：

给定两个字符串 text1 和 text2，返回这两个字符串的最长 公共子序列 的长度。如果不存在 公共子序列 ，返回 0 。

一个字符串的 子序列 是指这样一个新的字符串：它是由原字符串在不改变字符的相对顺序的情况下删除某些字符（也可以不删除任何字符）后组成的新字符串。

例如，"ace" 是 "abcde" 的子序列，但 "aec" 不是 "abcde" 的子序列。

两个字符串的 公共子序列 是这两个字符串所共同拥有的子序列。

示例：
输入： text1 = "abcde", text2 = "ace" 
输出： 3  
解释： 最长公共子序列是 "ace" ，它的长度为 3 。

题解：

1、dp[i]的定义：dp[i][j]：长度为[0, i - 1]的字符串text1与长度为[0, j - 1]的字符串text2的最长公共子序列为dp[i][j]。

2、状态转移方程：主要就是两大情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同：

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的,即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);

3、dp[i]的初始化：test1[0, i-1]和空串的最长公共子序列自然是0，所以dp[i][0] = 0;同理dp[0][j]也是0。其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统一初始为0。

4、确定遍历顺序：从递推公式，可以看出，有三个方向可以推出dp[i][j],那么为了在递推的过程中，这三个方向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5、举例推导dp数组:dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果。

    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        int[][] dp = new int[text1.length() + 1][text2.length() + 1];    // 先对dp数组做初始化操作
        for (int i = 1 ; i <= text1.length() ; i++) {    //外层i遍历第一个字符串text1
            char char1 = text1.charAt(i - 1);    //char1取得遍历的字符
            for (int j = 1; j <= text2.length(); j++) {    //内层j遍历第二个字符串text2
                char char2 = text2.charAt(j - 1);    //char2取得遍历的字符
                if (char1 == char2) {    // 开始列出状态转移方程
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[text1.length()][text2.length()];
    }

3、不相交的线

题目简介：

在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

  nums1[i] == nums2[j];

  且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交;

请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

示例：
输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
输出：2
解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 
但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。

题解：

直线不能相交，这就是说明在字符串A中 找到一个与字符串B相同的子序列，且这个子序列不能改变相对顺序，只要相对顺序不改变，链接相同数字的直线就不会相交。

本题说是求绘制的最大连线数，其实就是求两个字符串的最长公共子序列的长度！。

    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int len1 = nums1.length;
        int len2 = nums2.length;
        int[][] dp = new int[len1 + 1][len2 + 1];
        for (int i = 1; i <= len1; i++) {
            for (int j = 1; j <= len2; j++) {
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }

        return dp[len1][len2];
    }

连续类型问题

1、最长连续递增序列

题目简介：

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且 连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列 可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums[i] < nums[i + 1] ，那么子序列 [nums[l], nums[l + 1], ..., nums[r - 1], nums[r]] 就是连续递增子序列。

示例：
输入：nums = [1,3,5,4,7]
输出：3
解释：最长连续递增序列是 [1,3,5], 长度为3。
尽管 [1,3,5,7] 也是升序的子序列, 但它不是连续的，因为 5 和 7 在原数组里被 4 隔开。 

题解：

本题要求的是最长连续递增序列。

1、确定dp数组以及下标的含义：dp[i]：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度为dp[i]。

2、确定递推公式：如果 nums[i] > nums[i - 1]，那么以 i 为结尾的连续递增的子序列长度 一定等于 以i - 1为结尾的连续递增的子序列长度 + 1 。即：dp[i] = dp[i - 1] + 1;

因为本题要求连续递增子序列，所以就只要比较nums[i]与nums[i - 1]，而不用去比较nums[j]与nums[i] （j是在0到i之间遍历）。

既然不用j了，那么也不用两层for循环，本题一层for循环就行，比较nums[i] 和 nums[i - 1]。

3、dp数组如何初始化：以下标i为结尾的连续递增的子序列长度最少也应该是1，即就是nums[i]这一个元素。所以dp[i]应该初始1。

4、确定遍历顺序：从递推公式上可以看出， dp[i + 1]依赖dp[i]，所以一定是从前向后遍历。

5、举例推导dp数组：取dp[i]里的最大值才是结果。

    public static int findLengthOfLCIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];    //创建dp数组，大小为原数组长度
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {    //全部初始化为1
            dp[i] = 1;
        }
        int res = 1;    //res记录最大连续长度，最小都是1
        for (int i = 0; i < nums.length - 1; i++) {    //求连续子序列问题只有一层循环，遍历数组
            if (nums[i + 1] > nums[i]) {    //只需要判断前后是否满足小于关系即可
                dp[i + 1] = dp[i] + 1;    //如果后者大于前者，那么后者dp[i+1]等于前者dp[i] + 1
            }
            res = res > dp[i + 1] ? res : dp[i + 1];    //最终res返回整个dp数组中的最大值
        }
        return res;
    }

2、最长重复子数组

题目简介：

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度 。

示例：
输入： nums1 = [1,2,3,2,1], nums2 = [3,2,1,4,7]
输出： 3
解释： 长度最长的公共子数组是 [3,2,1] 。

题解：

题目中说的子数组，其实就是连续子序列。用二维数组可以记录两个字符串的所有比较情况，这样就比较好推 递推公式了。

1、确定dp数组以及下标的含义：dp[i][j] ：以下标i - 1为结尾的A，和以下标j - 1为结尾的B，最长重复子数组长度为dp[i][j]。

2、确定递推公式：根据dp[i][j]的定义，dp[i][j]的状态只能由dp[i - 1][j - 1]推导出来。

即当A[i - 1] 和B[j - 1]相等的时候，dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

根据递推公式可以看出，遍历i 和 j 要从1开始！

3、dp数组如何初始化：根据dp[i][j]的定义，dp[i][0] 和dp[0][j]其实都是没有意义的！

但dp[i][0] 和dp[0][j]要初始值，因为 为了方便递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

所以dp[i][0] 和dp[0][j]初始化为0。

4、确定遍历顺序：外层for循环遍历A，内层for循环遍历B。

同时题目要求长度最长的子数组的长度。所以在遍历的时候顺便把dp[i][j]的最大值记录下来。

5、举例推导dp数组。

    public int findLength(int[] nums1, int[] nums2) {
        int result = 0;
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];    //创建dp数组，大小为字符串1长度 * 字符串2长度
        for (int i = 1; i < nums1.length + 1; i++) {    //外层遍历字符串1
            for (int j = 1; j < nums2.length + 1; j++) {    //内层遍历字符串2
                if (nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) {    //如果两个值相等了
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;    //当前的dp[i][j]就是dp[i-1][j-1] + 1
                    result = Math.max(result, dp[i][j]);    //同时res记录最大的dp[i][j]
                }
            }
        }
        
        return result;
    }

3、最大子序和

题目简介：

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组 是数组中的一个连续部分。

示例：
输入： nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

题解：

1、确定dp数组以及下标的含义：dp[i]：包括下标i（以nums[i]为结尾）的最大连续子序列和为dp[i] 。

2、确定递推公式：dp[i]只有两个方向可以推出来：

• dp[i - 1] + nums[i]，即：nums[i]加入当前连续子序列和;

• nums[i]，即：从头开始计算当前连续子序列和;

一定是取最大的，所以dp[i] = max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i])。

3、dp数组如何初始化：从递推公式可以看出来dp[i]是依赖于dp[i - 1]的状态，dp[0]就是递推公式的基础。

根据dp[i]的定义，很明显dp[0]应为nums[0]即dp[0] = nums[0]。

4、确定遍历顺序：递推公式中dp[i]依赖于dp[i - 1]的状态，需要从前向后遍历。

5、举例推导dp数组：直接选出最大的dp[i]。

    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {    //如果数组为空，返回0
            return 0;
        }
        int res = nums[0];    //初始化res为第一个元素值
        int[] dp = new int[nums.length];    //创建dp数组，大小为原数组长度
        dp[0] = nums[0];    //初始化dp[0]为第一个元素值
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {    //从第二个元素下标开始遍历整个数组
            dp[i] = Math.max(dp[i - 1] + nums[i], nums[i]);    
            res = res > dp[i] ? res : dp[i];
        }
        return res;
    }