数据结构 | 第6章 最短路径

6.11 最短路径

最短路径问题：

给定带权网络G = (V, E)，以及源点（source）s∈V，对于所有的其它顶点v，s到v的最短通路有多长？该通路由哪些边构成？

最短路径树：

• 单调性：最短路径的任一前缀也是最短路径
• 歧义性：s到v的最短路径未必唯一
• 无环性：考查从源点到其余顶点的最短路径（若有多条，任选其一）。由以上单调性，这些路径的并集必然不含任何（有向）回路。这就意味着，它们应如图(b)和图(c)所示，构成所谓的最短路径树（shortest-path tree）。

Dijkstra算法：

• 最短路径子树序列：

  将顶点ui到起点s的距离记作：di = dist(s, ui)，1 ≤ i ≤ n。不妨设di按非降序排列，即di ≤ dj当且仅当i ≤ j。于是与s自身相对应地必有：u1 = s。

  只需从Tk+1中 删 除 距 离 最 远 的 顶 点uk+1，即可将Tk+1转换至Tk，且uk+1在Tk+1中必然为叶节点。

• 贪心迭代：

  颠倒上述思路可知，只要能够确定uk+1，便可反过来将Tk扩展为Tk+1。如此，便可按照到s距离的非降次序，逐一确定各个顶点{ u1, u2, ..., un }，同时得到各棵最短路径子树，并得到最终的最短路径树T = Tn。现在，问题的关键就在于：

  如何才能高效地找到uk+1？

  实际上，由最短路径子树序列的上述性质，每一个顶点uk+1都是在Tk之外，距离s最近者。若将此距离作为各顶点的优先级数，则与最小支撑树的Prim算法类似，每次将uk+1加入Tk并将其拓展至Tk+1后，需要且只需要更新那些仍在Tk+1之外，且与Tk+1关联的顶点的优先级数。可见，该算法与Prim算法仅有一处差异：考虑的是uk+1到s的距离，而不再是其到Tk的距离。

• 实现：

  每次由Tk扩展至Tk+1时，可将Vk之外各顶点u到Vk的距离看作u的优先级数（若u与Vk内顶点均无联边，则优先级数设为+∞）。如此，每一最短跨越边ek所对应的顶点uk，都会因拥有最小的优先级数（或等价地，最高的优先级）而被选中。

  唯一需要专门处理的是，在uk和ek加入Tk之后，应如何快速地更新Vk+1以外顶点的优先级数。实际上，只有与uk邻接的那些顶点，才有可能在此后降低优先级数。因此与Prim算法一样，也可遍历uk的每一个邻居v，只要边ukv的权重加上uk的优先级数，小于v当前的优先级数，即可将后者更新为前者（即考虑的是uk+1到s的距离，而不再是其到Tk的距离。）。

   0001 template <typename Tv, typename Te> struct DijkPU { //针对Dijkstra算法的顶点优先级更新器
   0002    virtual void operator() ( Graph<Tv, Te>* g, Rank v, Rank u ) {
   0003       if ( UNDISCOVERED == g->status ( u ) ) //对于v每一尚未被发现的邻接顶点u，按Dijkstra策略
   0004          if ( g->priority ( u ) > g->priority ( v ) + g->weight ( v, u ) ) { //做松弛
   0005             g->priority ( u ) = g->priority ( v ) + g->weight ( v, u ); //更新优先级（数）
   0006             g->parent ( u ) = v; //并同时更新父节点
   0007          }
   0008    }
   0009 };
  

• 实例：

• 复杂度：$O(n^2)$

“开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第 12 天，点击查看活动详情”