07 股票问题
1、买卖股票的最佳时机I（只能买卖一次）
题目简介：
给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。
示例：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
题解：
1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ，这里可能有同学疑惑，本题中只能买卖一次，持有股票之后哪还有现金呢？ 其实一开始现金是0，那么加入第i天买入股票现金就是 -prices[i]， 这是一个负数。dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
2、确定递推公式:如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]；
第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]；
那么dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i])。
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来：
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]；
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
同样dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
3、dp数组如何初始化：都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;
4、确定遍历顺序：从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
5、举例推导dp数组：dp[n][1]就是最终结果。因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length == 0) return 0; //如果数组为空返回0
int length = prices.length; //获取数组长度，即总天数
int[][] dp = new int[length][2]; //创建dp二维数组，大小为:length * 2
int result = 0;
dp[0][0] = -prices[0]; //初始化dp[0][0],dp[i][0]代表第i天持有股票的最大收益
dp[0][1] = 0; //初始化dp[0][1],dp[i][1]代表第i天不持有股票的最大收益
for (int i = 1; i < length; i++) { //正序遍历数组
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i], dp[i - 1][1]);
}
return dp[length - 1][1];
}
2、买卖股票的最佳时机II（可以买卖多次）
题目简介：
给你一个整数数组 prices ，其中 prices[i] 表示某支股票第 i 天的价格。
在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。
返回 你能获得的 最大 利润 。
输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。
题解：
本题和上一题的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）,这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和上一题一样一样的。
1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
2、确定递推公式:如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。
那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。
如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来：
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]。
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]。
3、dp数组如何初始化：都是要从dp[0][0]和dp[0][1]推导出来。那么dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] -= prices[0];dp[0][1]表示第0天不持有股票，不持有股票那么现金就是0，所以dp[0][1] = 0;
4、确定遍历顺序：从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
5、举例推导dp数组：dp[n][1]就是最终结果。因为本题中不持有股票状态所得金钱一定比持有股票状态得到的多！
public int maxProfit(int[] prices) {
int n = prices.length;
int[][] dp = new int[n][2]; // 创建dp二维数组存储状态，大小为：n * 2
dp[0][0] = 0; // 初始状态
dp[0][1] = -prices[0];
for (int i = 1; i < n; ++i) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]); // 第 i 天，没有股票
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]); // 第 i 天，持有股票
}
return dp[n - 1][0]; // 卖出股票收益高于持有股票收益，因此取[0]
}
3、买卖股票的最佳时机III（最多买卖两次）
题目简介：
给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。 设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例：
输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]
输出：6
解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。
随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。
题解：
关键在于至多买卖两次，这意味着可以买卖一次，可以买卖两次，也可以不买卖。
1、确定dp数组以及下标的含义:一天一共就有五个状态，
没有操作 （其实我们也可以不设置这个状态）
第一次持有股票
第一次不持有股票
第二次持有股票
第二次不持有股票
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
例如 dp[i][1] ，并不是说 第i天一定买入股票，有可能 第 i-1天 就买入了，那么 dp[i][1] 延续买入股票的这个状态。
2、确定递推公式:达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i];
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1];
一定是选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])。
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i];
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2];
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])。
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
3、dp数组如何初始化：
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作，此时还没有买入，可以理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作，第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后再买入一次，那么现在手头上没有现金，只要买入，现金就做相应的减少。所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
同理第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
4、确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5、举例推导dp数组：最大的时候一定是卖出的状态，而两次卖出的状态现金最大一定是最后一次卖出。所以最终最大利润是dp[len - 1][4]。
public int maxProfit(int[] prices) {
int len = prices.length;
if (prices.length == 0) return 0; // 边界判断, 题目中 length >= 1, 所以可省去
int[][] dp = new int[len][5]; //定义 5 种状态:
dp[0][1] = -prices[0];
dp[0][3] = -prices[0]; // 初始化第二次买入的状态是确保 最后结果是最多两次买卖的最大利润
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
dp[i][2] = Math.max(dp[i - 1][2], dp[i][1] + prices[i]);
dp[i][3] = Math.max(dp[i - 1][3], dp[i][2] - prices[i]);
dp[i][4] = Math.max(dp[i - 1][4], dp[i][3] + prices[i]);
}
return dp[len - 1][4];
}
4、买卖股票的最佳时机IV（最多买卖k次）
题目简介：
给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。
题解：
1、确定dp数组以及下标的含义:使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j],j的状态表示为：0 表示不操作、1 第一次买入、2 第一次卖出、3 第二次买入、4 第二次卖出......
大家应该发现规律了吧 ，除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
题目要求是至多有K笔交易，那么j的范围就定义为 2 * k + 1 就可以了。
2、确定递推公式:
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i];
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1];
选最大的，所以 dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])。
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i];
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2];
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])。
同理类比其他剩下状态：
dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
3、dp数组如何初始化：
第0天没有操作，这个最容易想到，就是0，即：dp[0][0] = 0;
第0天做第一次买入的操作，dp[0][1] = -prices[0];
第0天做第一次卖出的操作,此时还没有买入,理解当天买入，当天卖出，所以dp[0][2] = 0;
第0天第二次买入操作,第二次买入依赖于第一次卖出的状态，其实相当于第0天第一次买入了，第一次卖出了，然后在买入一次,所以第二次买入操作，初始化为：dp[0][3] = -prices[0];
第二次卖出初始化dp[0][4] = 0;
所以同理可以推出dp[0][j]当j为奇数的时候都初始化为 -prices[0]
4、确定遍历顺序：从递归公式其实已经可以看出，一定是从前向后遍历，因为dp[i]，依靠dp[i - 1]的数值。
5、举例推导dp数组：最后一次卖出，一定是利润最大的，dp[prices.size() - 1][2 * k]即红色部分就是最后求解。
public int maxProfit(int k, int[] prices) {
if (prices.length == 0) return 0;
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][k*2 + 1]; // [天数][股票状态]
for (int i = 1; i < k*2; i += 2) {
dp[0][i] = -prices[0]; // dp数组的初始化, 与版本一同理
}
for (int i = 1; i < len; i++) {
for (int j = 0; j < k*2 - 1; j += 2) {
dp[i][j + 1] = Math.max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
dp[i][j + 2] = Math.max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
}
}
return dp[len - 1][k*2];
}
5、最佳买卖股票时机含冷冻期（买卖多次，卖出有一天冷冻期）
题目简介：
给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
示例：
输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
题解：
1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i][j]，第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。具体可以区分出如下四个状态：
状态一：持有股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作，一直持有）;
状态二：保持卖出股票的状态（两天前就卖出了股票，度过一天冷冻期。或者是前一天就是卖出股票状态，一直没操作）;
状态三：今天卖出股票;
状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天;
2、确定递推公式:
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0];
操作二：今天买入了，有两种情况:
前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i];
前一天是保持卖出股票的状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i];
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][3] - prices[i], dp[i - 1][1] - prices[i])。
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
操作一：前一天就是状态二；
操作二：前一天是冷冻期（状态四）；
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])。
达到今天就卖出股票状态（状态三）,即：dp[i][2] ，只有一个操作:
昨天一定是持有股票状态（状态一），今天卖出即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i]。
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
昨天卖出了股票（状态三）dp[i][3] = dp[i - 1][2]。
3、dp数组如何初始化：如果是持有股票状态（状态一）那么：dp[0][0] = -prices[0]，一定是当天买入股票。保持卖出股票状态（状态二），这里其实从 「状态二」的定义来说，如果i为1，第1天买入股票，那么递归公式中需要计算 dp[i - 1][1] - prices[i] ，即 dp[0][1] - prices[1]，只能初始为0。今天卖出了股票（状态三），同上分析，dp[0][2]初始化为0，dp[0][3]也初始为0。
4、确定遍历顺序：从递归公式上可以看出，dp[i] 依赖于 dp[i-1]，所以是从前向后遍历。
5、举例推导dp数组：最后结果是取 状态二，状态三，和状态四的最大值。
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices == null || prices.length < 2) { //判断数组是否合理
return 0;
}
int[][] dp = new int[prices.length][2]; //创建dp二维数组，大小为：length * 2
dp[0][0] = 0; //初始化操作
dp[0][1] = -prices[0];
dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
for (int i = 2; i < prices.length; i++) { //从第二天开始遍历
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
}
return dp[prices.length - 1][0]; //返回结果
}
6、买卖股票的最佳时机含手续费（买卖多次，每次都有手续费）
题目简介：
给定一个整数数组 prices，其中 prices[i]表示第 i 天的股票价格 ；整数 fee 代表了交易股票的手续费用。
你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。
返回获得利润的最大值。
注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。
示例：
输入：prices = [1, 3, 2, 8, 4, 9], fee = 2
输出：8
解释：能够达到的最大利润:
在此处买入 prices[0] = 1
在此处卖出 prices[3] = 8
在此处买入 prices[4] = 4
在此处卖出 prices[5] = 9
总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8
题解：
本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎和第二题是一样的。唯一差别在于递推公式部分，主要讲解一下递推公式部分。
1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
2、确定递推公式:
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
操作一：第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
操作二：第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]；
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])。
如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来：
操作一：第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]；
操作二：第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee；
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee)。
//卖出时支付手续费
public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
int len = prices.length;
int[][] dp = new int[len][2]; // dp 定义第i天持股/不持股 所得最多现金,1 : 不持股（售出）,0 : 持股（买入）
dp[0][0] = -prices[0];
for (int i = 1; i < len; i++) {
dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][0] + prices[i] - fee, dp[i - 1][1]);
}
return Math.max(dp[len - 1][0], dp[len - 1][1]);
}
7、股票问题总结
（1）股票问题题型分类
（2）买股票的最佳时机
dp数组定义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得现金。
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来:
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0];
- 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i] 所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来:
- 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1];
- 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0] 所以dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
（3）买卖股票的最佳时机II
dp数组定义：
- dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金;
- dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金;
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来:
- 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0];
- 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i];
（4）买卖股票的最佳时机III
dp[i][j]中 i表示第i天，j为 [0 - 4] 五个状态，dp[i][j]表示第i天状态j所剩最大现金。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i-1][0] - prices[i];
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1];
dp[i][1] = max(dp[i-1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])。
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i];
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2];
所以dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])。
同理可推出剩下状态部分：
dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
（5）买卖股票的最佳时机IV
使用二维数组 dp[i][j] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp[i][j]。
除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入。
达到dp[i][1]状态，有两个具体操作：
操作一：第i天买入股票了，那么dp[i][1] = dp[i - 1][0] - prices[i]；
操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp[i][1] = dp[i - 1][1];
dp[i][1] = max(dp[i - 1][0] - prices[i], dp[i - 1][1])。
同理dp[i][2]也有两个操作：
操作一：第i天卖出股票了，那么dp[i][2] = dp[i - 1][1] + prices[i]；
操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp[i][2] = dp[i - 1][2]；
dp[i][2] = max(dp[i - 1][1] + prices[i], dp[i - 1][2])。
（6）最佳买卖股票时机含冷冻期
dp[i][j]：第i天状态为j，所剩的最多现金为dp[i][j]。
具体可以区分出如下四个状态：
状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）;
状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态;
状态三：今天卖出了股票;
状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天;
达到买入股票状态（状态一）即：dp[i][0]，有两个具体操作：
操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp[i][0] = dp[i - 1][0];
操作二：今天买入了，有两种情况:
前一天是冷冻期（状态四），dp[i - 1][3] - prices[i];
前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp[i - 1][1] - prices[i];
所以操作二取最大值，即：max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]。
那么dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i])。
达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp[i][1]，有两个具体操作：
操作一：前一天就是状态二;
操作二：前一天是冷冻期（状态四）;
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3])。
达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp[i][2] ，只有一个操作：
- 操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出;即：dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
达到冷冻期状态（状态四），即：dp[i][3]，只有一个操作：
- 操作一：昨天卖出了股票（状态三）,p[i][3] = dp[i - 1][2]。
（7）买卖股票的最佳时机含手续费
dp[i][0] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。
如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]；
第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]；
所以：dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i])。
如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来：
第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]；
第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，注意这里需要有手续费了即：dp[i - 1][0] + prices[i] - fee；
所以：dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee)。
