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作者： 千石
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前言
本文内容来自我平时学习的一些积累，如有错误，还请指正
在题目实战部分，我将代码实现和代码解释设置在了解题思路的下方，方便各位作为参考刷题
一些话
本文内容来自我平时学习的一些积累，如有错误，还请指正
前置知识
动态规划
动态规划（Dynamic Programming，简称 DP）是一种求解最优化问题的算法思想。动态规划通过将问题分解成更小的子问题，并将子问题的解缓存起来，最终得到原问题的解。
状态转移方程是动态规划的核心，它描述了问题的状态如何从之前的状态转移而来。通常情况下，状态转移方程可以用递推的方式来求解。
以求解最长上升子序列（LIS）问题为例，状态转移方程可以定义为：
设 dp[i] 表示以第 i 个数结尾的最长上升子序列的长度，状态转移方程为：
dp[i] = max{dp[j] + 1 | j < i, nums[j] < nums[i]}
其中，nums 是原序列，dp[j] 表示以第 j 个数结尾的最长上升子序列的长度。状态转移方程的意义是，以第 i 个数结尾的最长上升子序列的长度，等于在前面小于第 i 个数的数中，以最长上升子序列结尾的长度加 1 的最大值。
根据状态转移方程，可以使用递推的方式，从前往后求解 dp 数组。最终，dp[n] 就是原序列的最长上升子序列的长度。
动态规划进阶
- 状态压缩
当状态较多且状态之间存在相关性时，可以考虑使用状态压缩技巧，将状态用一个整数表示。例如，在一个图上找最短路，可以用二进制数表示经过的点的集合。
- 优化状态转移方程
有时候状态转移方程的计算可以进行优化，比如通过前缀和、后缀和等方式，减少计算量。
- 记忆化搜索
当递归搜索中存在重复的状态时，可以使用记忆化搜索技巧，将计算过的状态结果保存下来，下次查询时直接返回结果。
- 状态转移矩阵快速幂
在一些特殊的动态规划问题中，状态转移可以用矩阵乘法表示。此时可以使用矩阵快速幂技巧，快速求出状态矩阵的高次幂，从而得到最终的状态。
- 单调队列优化
当状态转移方程中存在单调性时，可以使用单调队列优化技巧，减少不必要的计算。例如，在求最长不降子序列时，可以使用单调递增的队列，从而省略一些不必要的计算。
- 斜率优化
当状态转移方程中存在斜率变化时，可以使用斜率优化技巧，通过维护凸壳来快速求出最优解。例如，在一些背包问题中，物品价值和重量之间的关系是线性的，此时可以使用斜率优化技巧。
- 二分答案优化
当问题的答案具有单调性时，可以使用二分答案优化技巧，通过二分答案来减少计算次数。例如，在一些最优化问题中，可以通过二分答案来快速求解最优解。
题目
题目一：70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）
思路
我们可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 阶台阶的不同方法数。则有状态转移方程：
dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
其中 dp[i-1] 表示从第 i-1 阶台阶爬一步到达第 i 阶台阶的方法数，dp[i-2] 表示从第 i-2 阶台阶爬两步到达第 i 阶台阶的方法数。
注意到这是一个斐波那契数列，我们可以将初始值 dp[0] 和 dp[1] 分别设置为 1 和 1，然后从 i=2 开始循环计算 dp 数组即可。
代码实现
def climbStairs(n: int) -> int:
if n <= 1:
return 1
dp = [1, 1]
for i in range(2, n+1):
dp.append(dp[i-1] + dp[i-2])
return dp[n]
题目二：[746. 使用最小花费爬楼梯]
思路
我们可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示到达第 i 阶台阶的最小花费。则有状态转移方程：
dp[i] = min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i]
其中 dp[i-1] 表示从第 i-1 阶台阶爬一步到达第 i 阶台阶的最小花费，dp[i-2] 表示从第 i-2 阶台阶爬两步到达第 i 阶台阶的最小花费，cost[i] 表示到达第 i 阶台阶需要支付的费用。
注意到题目中要求我们可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯，因此需要对初始值进行特殊处理。我们可以将初始值 dp[0] 和 dp[1] 分别设置为 cost[0] 和 cost[1]，然后从 i=2 开始循环计算 dp 数组即可。
代码实现
def minCostClimbingStairs(cost) -> int:
if len(cost) <= 1:
return 0
dp = [cost[0], cost[1]]
for i in range(2, len(cost)):
dp.append(min(dp[i-1], dp[i-2]) + cost[i])
return min(dp[-1], dp[-2])
