06 打家劫舍问题
1、打家劫舍I
题目简介：
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋。每间房内都藏有一定的现金，影响你偷窃的唯一制约因素就是相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你不触动警报装置的情况下 ，一夜之内能够偷窃到的最高金额。
示例：
输入：[1,2,3,1]
输出：4
解释：偷窃 1 号房屋 (金额 = 1) ，然后偷窃 3 号房屋 (金额 = 3)。
偷窃到的最高金额 = 1 + 3 = 4 。
题解：
当前房屋偷与不偷取决于 前一个房屋和前两个房屋是否被偷了。当前状态和前面状态会有一种依赖关系，那么这种依赖关系都是动规的递推公式。
1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i]：考虑下标i（包括i）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i] 。
2、确定递推公式:决定dp[i]的因素就是第i房间偷还是不偷。如果偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 2] + nums[i] ，即：第i-1房一定是不考虑的，找出 下标i-2（包括i-2）以内的房屋，最多可以偷窃的金额为dp[i-2] 加上第i房间偷到的钱。如果不偷第i房间，那么dp[i] = dp[i - 1]，即考虑i-1房。然后dp[i]取最大值，即dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
3、dp数组如何初始化：递推公式的基础就是dp[0] 和 dp[1]从dp[i]的定义上来讲，dp[0] 一定是 nums[0]，dp[1]就是nums[0]和nums[1]的最大值即：dp[1] = max(nums[0], nums[1]);
4、确定遍历顺序：dp[i] 是根据dp[i - 2] 和 dp[i - 1] 推导出来的，那么一定是从前到后遍历！
5、举例推导dp数组：dp[nums.size() - 1]为结果。
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) return 0; //如果数组为空，代表没有房屋，返回0
if (nums.length == 1) return nums[0]; //如果只有一间房屋，那么这间房屋的钱就是最大值
int[] dp = new int[nums.length]; //创建dp数组，大小为：房屋数
dp[0] = nums[0]; //初始化dp[0]为第一间房屋的钱
dp[1] = Math.max(dp[0], nums[1]); //初始化dp[1]为前两所房屋的最大值
for (int i = 2; i < nums.length; i++) { //从第三间房屋下标开始遍历到末尾
dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + nums[i]); //当前下标的最大值取决于当前房屋头或者不偷的最大值
}
return dp[nums.length - 1]; //返回dp数组最后一位就是最后的结果
}
2、打家劫舍II
题目简介：
你是一个专业的小偷，计划偷窃沿街的房屋，每间房内都藏有一定的现金。这个地方所有的房屋都 围成一圈 ，这意味着第一个房屋和最后一个房屋是紧挨着的。同时，相邻的房屋装有相互连通的防盗系统，如果两间相邻的房屋在同一晚上被小偷闯入，系统会自动报警 。
给定一个代表每个房屋存放金额的非负整数数组，计算你 在不触动警报装置的情况下 ，今晚能够偷窃到的最高金额。
示例：
输入： nums = [1,2,3,1]
输出： 4
解释： 你可以先偷窃 1 号房屋（金额 = 1），然后偷窃 3 号房屋（金额 = 3）。
题解：
这道题目和上一道题是差不多的，唯一区别就是成环了。对于一个数组，成环的话主要有如下三种情况：
考虑不包含首尾元素、考虑包含首元素，不包含尾元素、考虑包含尾元素，不包含首元素。
而情况二 和 情况三 都包含了情况一了，所以只考虑情况二和情况三就可以了。
分析到这里，本题其实比较简单了。 剩下的和上一道题就是一样的了。
public int rob(int[] nums) {
if (nums == null || nums.length == 0) //如果数组为空，返回0
return 0;
int len = nums.length; //获取数组长度即房屋数量len
if (len == 1) //如果房屋数量为1，返回第一间房屋的钱
return nums[0];
return Math.max(robAction(nums, 0, len - 1), robAction(nums, 1, len)); //返回采用情况二和采用情况三能获得最大钱财的最大值
}
int robAction(int[] nums, int start, int end) {
if (end == start) return nums[start];
int[] dp = new dp[nums.length];
dp[start] = nums[start];
dp[start + 1] = max(nums[start], nums[start + 1]);
for (int i = start + 2; i <= end; i++) {
dp[i] = max(dp[i - 2] + nums[i], dp[i - 1]);
}
return dp[end];
}
3、打家劫舍III
题目简介：
小偷又发现了一个新的可行窃的地区。这个地区只有一个入口，我们称之为 root 。
除了 root 之外，每栋房子有且只有一个“父“房子与之相连。一番侦察之后，聪明的小偷意识到“这个地方的所有房屋的排列类似于一棵二叉树”。 如果 两个直接相连的房子在同一天晚上被打劫 ，房屋将自动报警。
给定二叉树的 root 。返回在不触动警报的情况下 ，小偷能够盗取的最高金额 。
示例：
输入: root = [3,2,3,null,3,null,1]
输出: 7
解释: 小偷一晚能够盗取的最高金额 3 + 3 + 1 = 7
题解：
本题一定是要后序遍历，因为通过递归函数的返回值来做下一步计算。关键是要讨论当前节点抢还是不抢。如果抢了当前节点，两个孩子就不能动，如果没抢当前节点，就可以考虑抢左右孩子。
1、确定递归函数的参数和返回值：下标为0记录不偷该节点所得到的的最大金钱，下标为1记录偷该节点所得到的的最大金钱。所以本题dp数组就是一个长度为2的数组！
2、确定终止条件：在遍历的过程中，如果遇到空节点的话，很明显，无论偷还是不偷都是0，所以就返回。
3、确定遍历顺序:首先明确是使用后序遍历，因为要通过递归函数的返回值来进行下一步计算，通过递归左节点，得到左节点偷与不偷的金钱，通过递归右节点，得到右节点偷与不偷的金钱。
4、确定单层递归的逻辑：如果是偷当前节点，那么左右孩子就不能偷，val1 = cur->val + left[0] + right[0];如果不偷当前节点，那么左右孩子就可以偷，至于到底偷不偷一定是选一个最大的，所以：val2 = max(left[0], left[1]) + max(right[0], right[1]);最后当前节点的状态就是{val1,val2}，即：{不偷当前节点得到的最大金钱，偷当前节点得到的最大金钱}
5、举例推导dp数组：最后头结点就是 取下标0 和 下标1的最大值就是偷得的最大金钱。
public int rob3(TreeNode root) {
int[] res = robAction1(root);
return Math.max(res[0], res[1]); //取结果数组中的最大值，即偷头结点或不偷头结点的最大值
}
int[] robAction1(TreeNode root) {
int res[] = new int[2]; //创建结果数组res，大小为2
if (root == null) //如果树为空直接返回
return res;
int[] left = robAction1(root.left); //创建左子树对应的数组left
int[] right = robAction1(root.right); //创建右子树对应的数组right
res[0] = Math.max(left[0], left[1]) + Math.max(right[0], right[1]); //不偷：Max(左孩子不偷，左孩子偷) + Max(右孩子不偷，右孩子偷)
res[1] = root.val + left[0] + right[0]; //偷：左孩子不偷+ 右孩子不偷 + 当前节点偷
return res; //返回结果数组
}
