04 完全背包问题

1、完全背包理论基础

题目简介：

有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。假设背包最大重量为4。物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

题解：

01背包和完全背包唯一不同就是体现在遍历顺序上,我们直接针对遍历顺序经行分析！

在完全背包中，对于一维dp数组来说，其实两个for循环嵌套顺序是无所谓的因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

回顾一下01背包的核心代码:
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = bagWeight; j >= weight[i]; j--) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
    }
}

我们知道01背包内嵌的循环是从大到小遍历，为了保证每个物品仅被添加一次。
而完全背包的物品是可以添加多次的，所以要从小到大去遍历，即：
// 先遍历物品，再遍历背包
for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = weight[i]; j <= bagWeight ; j++) { // 遍历背包容量
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

//先遍历物品，再遍历背包
private static void testCompletePack(){
    int[] weight = {1, 3, 4};
    int[] value = {15, 20, 30};
    int bagWeight = 4;
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }
    for (int maxValue : dp){
        System.out.println(maxValue + "   ");
    }
}

2、零钱兑换II

题目简介：

给你一个整数数组 coins 表示不同面额的硬币，另给一个整数 amount 表示总金额。

请你计算并返回可以凑成总金额的硬币组合数。如果任何硬币组合都无法凑出总金额，返回 0 。

假设每一种面额的硬币有无限个。 

题目数据保证结果符合 32 位带符号整数。

示例：
输入：amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出：4
解释：有四种方式可以凑成总金额：
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

题解：

这是一道典型的背包问题，一看到钱币数量不限，就知道这是一个完全背包。但本题和纯完全背包不一样，纯完全背包是凑成背包最大价值是多少，而本题是要求凑成总金额的物品组合个数！

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[j]代表凑成总金额j的货币组合数为dp[j]。

2、确定递推公式:dp[j] 就是所有的dp[j - coins[i]]（考虑coins[i]的情况）相加。所以递推公式：dp[j] += dp[j - coins[i]];求装满背包有几种方法，公式都是：dp[j] += dp[j - nums[i]];

3、dp数组如何初始化：首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]。

4、确定遍历顺序：完全背包的两个for循环的先后顺序都是可以的。但本题就不行了！ 因为纯完全背包求得装满背包的最大价值是多少，和凑成总和的元素有没有顺序没关系，即：有顺序也行，没有顺序也行！而本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

外层for循环遍历物品（钱币），内层for遍历背包（金钱总额）的情况:只会出现一种组合的一种情况。

如果把两个for交换顺序:一种组合如果元素顺序不同就有不同种情况，求的是排列数。因此我们选择外层循环物品(钱币)，内层循环容量(总金额)。

5、举例推导dp数组：最后返回dp[amount]就是最终amount金额的方案数。

    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp = new int[amount + 1];    //创建dp数组，大小为amount + 1
        dp[0] = 1;    //初始化dp[0]为1，如果初始化为0将无法进行后续计算
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {    //外层遍历物品(钱币)
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {    //内层遍历容量(总金额)
                dp[j] += dp[j - coins[i]];    //求组合数类问题的通用递推式
            }
        }
        return dp[amount];    //最后返回dp[amount]即amount的组合方案数
    }

3、组合总和IV

题目简介：

给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例：
输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

题解：

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]。

2、确定递推公式:dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];

3、dp数组如何初始化：因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。其余位置初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

4、确定遍历顺序：个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包；如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5、举例推导dp数组。

    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];    //创建dp数组，大小为总金额target + 1
        dp[0] = 1;    //初始化dp[0]为1
        for (int i = 0; i <= target; i++) {    //求排列组合问题，外层遍历容量(总金额)
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {    //内层遍历物品(钱币)，且正序遍历
                if (i >= nums[j]) {    //必须保证总金额大于或等于当前这个数，这样才能放进去
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }

4、爬楼梯(完全背包解法)

题目简介：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例：
输入： 2 输出： 2 解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
1.  2 阶

题解：

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i]：爬到有i个台阶的楼顶，有dp[i]种方法。

2、确定递推公式:之前求装满背包有几种方法递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];本体的dp[i]有几种来源，dp[i - 1]，dp[i - 2]，dp[i - 3] 等等，即：dp[i - j]那么递推公式为：dp[i] += dp[i - j]。

3、dp数组如何初始化：既然递归公式是 dp[i] += dp[i - j]，那么dp[0] 一定为1，dp[0]是递归中一切数值的基础所在，如果dp[0]是0的话，其他数值都是0了。下标非0的dp[i]初始化为0，因为dp[i]是靠dp[i-j]累计上来的，dp[i]本身为0这样才不会影响结果。

4、确定遍历顺序：这是背包里求排列问题，即：1、2 步 和 2、1 步都是上三个台阶，但是这两种方法不一样！ 所以需将target放在外循环，将nums放在内循环。每一步可以走多次，这是完全背包，内循环需要从前向后遍历。

5、举例推导dp数组。

    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];    //创建一个dp数组，大小为n + 1
        int[] weight = {1,2};    //定义weight数组，里面为可选择的跳跃的层数
        dp[0] = 1;    //初始化dp[0]为1
        for (int i = 0; i <= n; i++) {    //外层遍历容量
            for (int j = 0; j < weight.length; j++) {    //内层正序遍历所有可能的跳跃选择
                if (i >= weight[j]) dp[i] += dp[i - weight[j]];    //保证当前的容量始终大于或等于当前跳跃的层数，然后进行递推公式
            }
        }

        return dp[n];    //最后返回dp[n]，代表爬到第n层有dp[n]种方案
    }

5、零钱兑换

题目简介：

给你一个整数数组 coins ，表示不同面额的硬币；以及一个整数 amount ，表示总金额。

计算并返回可以凑成总金额所需的 最少的硬币个数 。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1 。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例：
输入： coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出： 3 
解释： 11 = 5 + 5 + 1

题解：

题目中说每种硬币的数量是无限的，可以看出是典型的完全背包问题。

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[j]：凑足总额为j所需钱币的最少个数为dp[j]。

2、确定递推公式:凑足总额为j - coins[i]的最少个数为dp[j - coins[i]]，那么只需要加上一个钱币coins[i]即dp[j - coins[i]] + 1就是dp[j]（考虑coins[i]），所以dp[j] 要取所有 dp[j - coins[i]] + 1 中最小的。因此递推公式：dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])。

3、dp数组如何初始化：首先凑足总金额为0所需钱币的个数一定是0，那么dp[0] = 0;dp[j]必须初始化为一个最大的数，否则就会在min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])比较的过程中被初始值覆盖。所以下标非0的元素都是应该是最大值。

4、确定遍历顺序：本题求钱币最小个数，那么钱币有顺序和没有顺序都可以，都不影响钱币的最小个数。所以本题并不强调集合是组合还是排列。所以本题的两个for循环的关系是：外层for循环遍历物品，内层for遍历背包或者外层for遍历背包，内层for循环遍历物品都是可以的！ 那么我采用coins放在外循环，target在内循环的方式。本题钱币数量可以无限使用，那么是完全背包。所以遍历的内循环是正序。综上所述，遍历顺序为：coins（物品）放在外循环，target（背包）在内循环。且内循环正序。

5、举例推导dp数组：dp[amount]为最终结果。

    public int coinChange(int[] coins, int amount) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;    //定义最大值为max
        int[] dp = new int[amount + 1];    //创建dp数组，大小为amount + 1
        for (int j = 0; j < dp.length; j++) {    //初始化整个数组全部赋值为最大值max
            dp[j] = max;
        }
        dp[0] = 0;    //初始化dp[0]为0,代表当金额为0时需要的硬币数目为0
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {    //外层遍历物品
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {    //内层正序遍历容量
                if (dp[j - coins[i]] != max) {    //只有dp[j-coins[i]]不是初始最大值时，该位才有选择的必要
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);    //选择硬币数目最小的情况
                }
            }
        }
        return dp[amount] == max ? -1 : dp[amount];    //如果dp[amount]的值仍为max，说明没有最小值，直接返回-1
    }

6、完全平方数

题目简介：

给你一个整数 n ，返回 和为 n 的完全平方数的最少数量 。

完全平方数 是一个整数，其值等于另一个整数的平方；换句话说，其值等于一个整数自乘的积。

例如，1、4、9 和 16 都是完全平方数，而 3 和 11 不是。

示例：
输入： n = 12
输出： 3 
解释： 12 = 4 + 4 + 4

题解：

完全平方数就是物品（可以无限件使用），凑个正整数n就是背包，问凑满这个背包最少有多少物品？

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[j]：和为j的完全平方数的最少数量为dp[j]。

2、确定递推公式:dp[j] 可以由dp[j - i * i]推出， dp[j - i * i] + 1 便可以凑成dp[j]，此时我们要选择最小的dp[j]，所以递推公式：dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j])。

3、dp数组如何初始化：dp[0]表示 和为0的完全平方数的最小数量，那么dp[0]一定是0。从递归公式dp[j] = min(dp[j - i * i] + 1, dp[j]);中可以看出每次dp[j]都要选最小的，所以非0下标的dp[j]一定要初始为最大值，这样dp[j]在递推的时候才不会被初始值覆盖。

4、确定遍历顺序：本题也是一样的，是求最小数，所以本题外层for遍历背包，内层for遍历物品，还是外层for遍历物品，内层for遍历背包，都是可以的！

5、举例推导dp数组：dp[n]为最终结果。

    public int numSquares(int n) {
        int max = Integer.MAX_VALUE;    //定义最大值max
        int[] dp = new int[n + 1];    //创建dp数组，大小为n + 1
        for (int j = 0; j <= n; j++) {    //初始化dp数组所有元素为最大值
            dp[j] = max;
        }
        dp[0] = 0;    //初始化dp[0]，代表当和为0时组合数为0
        for (int i = 1; i * i <= n; i++) {    //遍历物品
            for (int j = i * i; j <= n; j++) {    //正序遍历容量
                if (dp[j - i * i] != max) {    //dp数组不为最大值max时才有意义
                    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);    //取最小值
                }
            }
        }
        return dp[n];    //返回dp[n]，代表n的组合数为dp[n]
    }

7、单词拆分

题目简介：

给你一个字符串 s 和一个字符串列表 wordDict 作为字典。请你判断是否可以利用字典中出现的单词拼接出 s 。

注意：不要求字典中出现的单词全部都使用，并且字典中的单词可以重复使用。

示例：
输入: s = "leetcode", wordDict = ["leet", "code"]
输出: true
解释: 返回 true 因为 "leetcode" 可以由 "leet" 和 "code" 拼接成。

题解：

单词就是物品，字符串s就是背包，单词能否组成字符串s，就是问物品能不能把背包装满。拆分时可以重复使用字典中的单词，说明就是一个完全背包！

1、确定dp数组以及下标的含义:dp[i] : 字符串长度为i的话，dp[i]为true，表示可以拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

2、确定递推公式:如果确定dp[j] 是true，且 [j, i] 这个区间的子串出现在字典里，那么dp[i]一定是true（j < i）。所以递推公式是 if([j, i] 这个区间的子串出现在字典里 && dp[j]是true) 那么 dp[i] = true。

3、dp数组如何初始化：从递推公式中可以看出，dp[i] 的状态依靠 dp[j]是否为true，那么dp[0]就是递推的根基，dp[0]一定要为true，否则递推下去后面都都是false了。下标非0的dp[i]初始化为false，只要没有被覆盖说明都是不可拆分为一个或多个在字典中出现的单词。

4、确定遍历顺序：本题其实我们求的是排列数，强调物品之间顺序。所以说，本题一定是 先遍历 背包，再遍历物品。

5、举例推导dp数组：dp[s.size()]就是最终结果。

    public boolean wordBreak(String s, List<String> wordDict) {
        HashSet<String> set = new HashSet<>(wordDict);
        boolean[] valid = new boolean[s.length() + 1];    //创建dp(valid)数组，大小为：字符串长度 + 1
        valid[0] = true;    //初始化valid[0]为true
        for (int i = 1; i <= s.length(); i++) {    //外层遍历容量(字符串长度)
            for (int j = 0; j < i && !valid[i]; j++) {    //内层正序遍历物品(即字符串数组每一个字符串)
                if (set.contains(s.substring(j, i)) && valid[j]) {    //如果集合里存在这段字符串且valid[j]为true
                    valid[i] = true;    //则将当前valid[i]赋值为true
                }
            }
        }

        return valid[s.length()];    //返回valid[字符串长度]代表该字符串是否可由字符串数组内拼接
    }