05 多重背包及背包问题总结

1、多重背包理论基础

题目简介：

有N种物品和一个容量为V 的背包。第i种物品最多有Mi件可用，每件耗费的空间是Ci ，价值是Wi 。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的耗费的空间 总和不超过背包容量，且价值总和最大。假如背包最大重量为10。物品为：

问背包能背的物品最大价值是多少？

题解：

多重背包和01背包是非常像的， 为什么和01背包像呢？每件物品最多有Mi件可用，把Mi件摊开，其实就是一个01背包问题了。 比如：

毫无区别，这就转成了一个01背包问题了，且每个物品只用一次。

public void testMultiPack1(){
    //改变物品数量为01背包格式
    List<Integer> weight = new ArrayList<>(Arrays.asList(1, 3, 4));
    List<Integer> value = new ArrayList<>(Arrays.asList(15, 20, 30));
    List<Integer> nums = new ArrayList<>(Arrays.asList(2, 3, 2));
    int bagWeight = 10;
    for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
        while (nums.get(i) > 1) {    // 把物品展开为i
            weight.add(weight.get(i));
            value.add(value.get(i));
            nums.set(i, nums.get(i) - 1);
        }
    }
    int[] dp = new int[bagWeight + 1];
    for(int i = 0; i < weight.size(); i++) {    // 遍历物品
        for(int j = bagWeight; j >= weight.get(i); j--) {    // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight.get(i)] + value.get(i));
        }
        System.out.println(Arrays.toString(dp));
    }
}

2、背包问题总结

（1）背包问题分类图

（2）背包递推式

问能否能装满背包（或者最多装多少）：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - nums[i]] + nums[i])

问装满背包有几种方法：

dp[j] += dp[j - nums[i]]

问背包装满最大价值：

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i])

问装满背包所有物品的最小个数：

dp[j] = min(dp[j - coins[i]] + 1, dp[j])

（3）遍历顺序

01背包

二维dp数组01背包：

先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

一维dp数组01背包：

只能先遍历物品再遍历背包容量，且第二层for循环是从大到小遍历。

完全背包

纯完全背包的一维dp数组：

先遍历物品还是先遍历背包都是可以的，且第二层for循环是从小到大遍历。

如果求组合数:

就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

如果求排列数:

就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

如果求最小数:

那么两层for循环的先后顺序就无所谓了