分组背包（18-18）

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本题为分组背包的模板题。

分组背包

题目描述

有 $N$ 组物品和一个容量是 $V$ 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。

每件物品的体积是 $v_{ij}$，价值是 $w_{ij}$，其中 $i$ 是组号，$j$ 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

输入格式

第一行有两个整数 $N，V$，用空格隔开，分别表示物品组数和背包容量。

接下来有 $N$ 组数据：

• 每组数据第一行有一个整数 $S_i$，表示第 $i$ 个物品组的物品数量；
• 每组数据接下来有 $S_i$ 行，每行有两个整数 $v_{ij},w_{ij}$，用空格隔开，分别表示第 $i$ 个物品组的第 $j$ 个物品的体积和价值；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤100$

$0<s_i≤100$

$0<v_{ij},w_{ij}≤100$

输入样例

3 5
2
1 2
2 4
1
3 4
1
4 5

输出样例

8

题目分析

这是一道分组背包的板子题。

在我看来，我认为可以用01背包的思想帮助理解分组背包。

在01背包中，每件物品有两种状态，选或不选。同样的，在分组背包中，每组物品也同样有两种状态，一是不选，二是选择其中最优的物品，而这个状态又有 $S_i$ 个子状态，即选择第 $i$ 件物品。

我们设 $f[i][j]$ 为前 $i$ 组物品中总体积为 $j$ 的最优解。

$f[i][j]=max(f[i-1][j],\; f[i-1][j-v_{i1}]+w_{i1},\; f[i-1][j-v_{i2}]+w_{i2},\; \dots f[i-1][j-v_{ik}]+w_{ik})$

同样也可以优化到一维，复杂度为 $O(n^2v)$

Accept代码 O(n^2v)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int v[N][N], w[N][N];
int s[N], f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> s[i];
        for (int j = 1; j <= s[i]; j ++) cin >> v[i][j] >> w[i][j];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int k = m; k; k --)
            for (int j = 1; j <= s[i]; j ++)    // 此层循环和上层不能交换
                if (k >= v[i][j]) f[k] = max(f[k], f[k - v[i][j]] + w[i][j]);
    cout << f[m];
    return 0;
}