优美的排列

这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第 17 天，点击查看活动详情

问题描述

假设有从 1 到 n 的 n 个整数。用这些整数构造一个数组 perm（下标从 1 开始），只要满足下述条件 之一 ，该数组就是一个 优美的排列 ：

• perm[i] 能够被 i 整除
• i 能够被 perm[i] 整除 给你一个整数 n ，返回可以构造的 优美排列 的 数量 。

示例 1：

输入：n = 2
输出：2
解释：
第 1 个优美的排列是 [1,2]：
    - perm[1] = 1 能被 i = 1 整除
    - perm[2] = 2 能被 i = 2 整除
第 2 个优美的排列是 [2,1]:
    - perm[1] = 2 能被 i = 1 整除
    - i = 2 能被 perm[2] = 1 整除

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

• 1 <= n <= 15

思路分析

首先我们先要理解一下题目意思，题目会给我们一个数字n，我们需要计算使用从 1 到 n 的 n 个整数构造优美的排列的排列数。只要满足下述条件 之一 ，该数组就是一个 优美的排列 ：

• perm[i] 能够被 i 整除
• i 能够被 perm[i] 整除

看了下题目的数据规模:1 <= n <= 15，n最大只能是 15，所以我们可以直接使用深搜算法对所有排列进行一个尝试，求出最后可以构成满足条件的排列数目。

• 递归终止条件

if (len == n) {
  res++;
  return;
}

当队列的长度等于 n 时，说明已经使用上了所有的数字，也即是找到了一个优美的排列，我们可以将排列数目加一并终止递归。

• 判断是否可以将数字填入排列

我们可以根据优美排列的条件进行判断，将没有使用过并且符合条件的数字填充进排列。

for (let i = 1; i <= n; i++) {
  if (!map[i] && (i % (len + 1) == 0 || (len + 1) % i == 0)) {
    map[i] = true;
    dfs(len + 1);
    map[i] = false;
  }
}

• map 重置进行回溯

map[i] = true;
dfs(len + 1);
map[i] = false;

如果当前数字可以使用则将其加入排列，并继续寻找可以放进下一个位置的数字，map[i] = true表示该数字已经用过，递归回来后将map[i]重置为 false 进行回溯。

完整 AC 代码如下：

AC 代码

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var countArrangement = function (n) {
  let res = 0;
  const map = {};
  const dfs = (len) => {
    if (len == n) {
      res++;
      return;
    }
    for (let i = 1; i <= n; i++) {
      if (!map[i] && (i % (len + 1) == 0 || (len + 1) % i == 0)) {
        map[i] = true;
        dfs(len + 1);
        map[i] = false;
      }
    }
  };
  dfs(0);
  return res;
};

说在后面

本人为算法业余爱好者，平时只是随着兴趣偶尔刷刷题，如果上面分享有错误的地方，欢迎指出，感激不尽。