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二维前缀和

• 在一个矩阵里面，计算子矩阵的和

二维前缀和的计算

• s(i,j)以i,j为右下角的矩阵的和，a(i,j)为矩阵中的数

• 如何计算s(i,j)？

  s[i][j] = s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+a[i][j]
  

  计算以(i,j)为右下角的矩阵的前缀和，此时，将s(i-1,j)+s(i,j-1)+a(i,j),此时以(i-1,j-1)的矩阵被减了两次，加上s(i-1,j-1),

  从而求得s(i,j)

• 如何计算以(x1,y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的和？

s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]

推导过程：

把以(x2,y2)的右下角的矩阵的和减去以(x1-1,y2)为右下角的矩阵的，减去以(x2,y1-1)为右下角的矩阵，此时，以(x1-1,y1-1)为右下角的矩阵被减了两次，此时需要加上一次，+s(x1-1)(y1-1)

例题

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个询问，每个询问包含四个整数 x1,y1,x2,y2

，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 n，m，q

接下来 n行，每行包含 m个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含四个整数 x1,y1,x2,y2，表示一组询问。

输出格式

共 q行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

1≤n,m≤1000, 1≤q≤200000, 1≤x1≤x2≤n, 1≤y1≤y2≤m, −1000≤矩阵内元素的值≤1000

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4

输出样例：

17
27
21

代码

package main
​
import "fmt"
​
var (
    n int
    m int
    q int
    a [1010][1010]int
    s [1010][1010]int
)
​
func main() {
    fmt.Scanf("%d %d %d", &n, &m, &q)
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= m; j++ {
            fmt.Scanf("%d", &a[i][j])
        }
    }
    for i := 1; i <= n; i++ {
        for j := 1; j <= m; j++ {
            s[i][j] = s[i-1][j] + s[i][j-1] + a[i][j] - s[i-1][j-1]
        }
    }
    var x1, y1, x2, y2 int
    for i := 0; i < q; i++ {
        fmt.Scanf("%d %d %d %d", &x1, &y1, &x2, &y2)
        ans := s[x2][y2] - s[x1-1][y2] - s[x2][y1-1] + s[x1-1][y1-1]
        fmt.Println(ans)
    }
}