潜水员（16-16）DP刷题系列第十六天第十六题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第

开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第 16 天，点击查看活动详情

本题是二维背包的一个应用。

潜水员

题目描述

潜水员为了潜水要使用特殊的装备。

他有一个带2种气体的气缸：一个为氧气，一个为氮气。

让潜水员下潜的深度需要各种数量的氧和氮。

潜水员有一定数量的气缸。

每个气缸都有重量和气体容量。

潜水员为了完成他的工作需要特定数量的氧和氮。

他完成工作所需气缸的总重的最低限度的是多少？

例如：潜水员有5个气缸。每行三个数字为：氧，氮的（升）量和气缸的重量：

如果潜水员需要5升的氧和60升的氮则总重最小为249（1，2或者4，5号气缸）。

你的任务就是计算潜水员为了完成他的工作需要的气缸的重量的最低值。

输入格式

第一行有2个整数 $m，n$ ，。它们表示氧，氮各自需要的量。

第二行为整数 $k$ 表示气缸的个数。

此后的 $k$ 行，每行包括 $a_i，b_i，c_i$ ，3个整数。这些各自是：第 $i$ 个气缸里的氧和氮的容量及气缸重量。

输出格式

仅一行包含一个整数，为潜水员完成工作所需的气缸的重量总和的最低值。

数据范围

$1≤m≤21,$
$1≤n≤79,$
$1≤k≤1000,$
$1≤ai≤21,$
$1≤bi≤79,$
$1≤ci≤800$

输入样例

输出样例

题目分析

通过大致的题目分析可知，本题应为二维背包的解法。

但不同于上一个模型的是，上一个模型的 $f[i][j]$ 表示第一维不超过 $i$ ，第二维不超过 $j$ 的最大价值，而本题的 $f[i][j]$ 表示第一维不小于 $i$ ，第二维不小于 $j$ 的最小价值。

我们按照分析写出转移方程： $f[i][j]=min(f[i][j],f[i-a][j-b]+c)$ 。

同时便会发现一个问题，即 $i-a,\;j-b$ 会出现负值，我们将负值视为 $0$ ，即此维度所需为 $0$ ，同时因为题意的改变，每次遍历的每一维都需要遍历到 $0$ 。

Accept代码 O(nmk)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int f[25][85];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    int k; cin >> k;
    while (k --)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        for (int i = n; i >= 0; i --)
            for (int j = m; j >= 0; j --)
                f[i][j] = min(f[i][j], f[max(0, i - a)][max(0, j - b)] + c);
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}