算法初探LeetCode-叶值的最小代价生成树

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LeetCode1130：叶值的最小代价生成树

给你一个正整数数组 arr，考虑所有满足以下条件的二叉树：

• 每个节点都有 0 个或是 2 个子节点。
• 数组 arr 中的值与树的中序遍历中每个叶节点的值一一对应。（知识回顾：如果一个节点有 0 个子节点，那么该节点为叶节点。）
• 每个非叶节点的值等于其左子树和右子树中叶节点的最大值的乘积。

在所有这样的二叉树中，返回每个非叶节点的值的最小可能总和。这个和的值是一个 32 位整数。

示例：

输入： arr = [6,2,4]
输出： 32
解释：
有两种可能的树，第一种的非叶节点的总和为 36，第二种非叶节点的总和为 32。

    24            24
   /  \          /  \
  12   4        6    8
 /  \               / \
6    2             2   4

提示：

• 2 <= arr.length <= 40
• 1 <= arr[i] <= 15
• 答案保证是一个 32 位带符号整数，即小于 $2^{31}$。

思路分析

• 回忆中序序列，对于序列中的某一个元素，它左边的全部元素在这个元素的左子树中，它右边的全部元素在这个元素的右子树中。
• 根据题意，给出的中序序列的所有元素都是叶节点。我们可以隐含地将序列分为左右两边，左半部分是左子树，右半部分是右子树。
• 我们可以递归地求解最小和，即定义一个方法getMinSum，让它返回可以得到的最小和。因为我们将序列分为左右两边，它们分别是左右子树，所以只要在两边分别找出最大元素就可以计算当前节点的值。
• 为了避免重复计算，设置备忘录记录一定范围内序列可能得到的最小和。

算法代码

public int mctFromLeafValues(int[] arr) {
    if (arr == null || arr.length == 0)
        return 0;
    int n = arr.length;
    memoization = new int[n][n];
    return getMinSum(arr, 0, arr.length - 1);
}

private int[][] memoization;

private int getMinSum(int[] arr, int left, int right) {
    if (left == right) {
        return 0;
    }
    if (memoization[left][right] != 0)
        return memoization[left][right];
    int minSum = Integer.MAX_VALUE;
    for (int i = left; i < right; i++) {
        int leftStart = left, leftEnd = i, rightStart = i + 1, rightEnd = right;
        int temp = getMinSum(arr, leftStart, leftEnd) + getMinSum(arr, rightStart, rightEnd) +
            getMaxNum(arr, leftStart, leftEnd) * getMaxNum(arr, rightStart, rightEnd);
        minSum = Math.min(temp, minSum);
    }
    memoization[left][right] = minSum;
    return minSum;
}

private int getMaxNum(int[] arr, int left, int right) {
    int max = Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = left; i <= right; i++) {
        max = Math.max(max, arr[i]);
    }
    return max;
}

结果详情

算法复杂度

• 空间复杂度：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(n)$

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