二维背包问题（15-15）DP刷题系列第十五天第十五题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」

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今天进行二维背包的基础模型学习。

二维费用的背包问题

题目描述

有 $N$ 件物品和一个容量是 $V$ 的背包，背包能承受的最大重量是 $M$ 。

每件物品只能用一次。体积是 $v_i$ ，重量是 $m_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，总重量不超过背包可承受的最大重量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行三个整数， $N,V,M$ ，用空格隔开，分别表示物品件数、背包容积和背包可承受的最大重量。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,m_i,w_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 件物品的体积、重量和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N≤1000$

$0<V,M≤100$

$0<v_i,m_i≤100$

$0<w_i≤1000$

输入样例

输出样例

题目分析

这是一道二维背包模型的问题。

首先分析题目，每件物品的数量为 $1$ ，则可以联想到 01背包的解法。

01背包的转移方程为：

$f[i][j]=max(f[i-1][j],\; f[i-1][j-v_i]+w_i)$

相较于01背包中的物品，二维背包中每个物品除体积外还多了个重量的属性，背包也给出了总体积和总重量两个限制条件。

我们注意到，每件物品的重量和体积是绑定在一起的，即若不选择这件物品，背包在减去相应体积的同时也会减去相应的重量。

自然的，我们可以多开一维数组给重量，转移方程为：

$f[i][j][k]=max(f[i-1][j][k],\; f[i-1][j-v_i][k-m_i]+w_i)$

同样，可以像01背包那样压缩一维，转移方程简化为：

$f[i][j]=max(f[i][j],\; f[i-v_i][j-m_i])$

时间复杂度为 $O(vm)$ 。

Accept代码 O(vm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110;
int f[N][N];

int main()
{
    int n, v, m;
    cin >> n >> v >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        
        for (int j = v; j >= a; j --)
            for (int k = m; k >= b; k --)
                f[j][k] = max(f[j][k], f[j - a][k - b] + c);
    }
    cout << f[v][m];
    return 0;
}