6.8 拓扑排序
应用：
许多应用问题，都可转化和描述为这一标准形式：给定描述某一实际应用（图(a)）的有向图（图(b)），如何在与该图“相容”的前提下，将所有顶点排成一个线性序列（图(c)）。
此处的“相容”，准确的含义是：每一顶点都不会通过边，指向其在此序列中的前驱顶点。这样的一个线性序列，称作原有向图的一个拓扑排序（topological sorting）。
有向无环图：
有向无环图的拓扑排序必然存在；反之亦然。这是因为，有向无环图对应于偏序关系，而拓扑排序则对应于全序关系。在顶点数目有限时，与任一偏序相容的全序必然存在。
任一有限偏序集，必有极值元素（尽管未必唯一）；类似地，任一有向无环图，也必包含入度为零的顶点。否则，每个顶点都至少有一条入边，意味着要么顶点有无穷个，要么包含环路。
于是，只要将入度为0的顶点m（及其关联边）从图G中取出，则剩余的G'依然是有向无环图，故其拓扑排序也必然存在。从递归的角度看，一旦得到了G'的拓扑排序，只需将m作为最大顶点插入，即可得到G的拓扑排序。如此，我们已经得到了一个拓扑排序的算法：
以下，将转而从DFS入手，给出另一拓扑排序算法：
有限偏序集中也必然存在极小元素（同样，未必唯一）。该元素作为顶点，出度必然为零——比如图6.10(b)中的顶点D和F。而在对有向无环图的DFS搜索中，首先因访问完成而转换至VISITED状态的顶点m，也必然具有这一性质；反之亦然。
进一步地，根据DFS搜索的特性，顶点m（及其关联边）对此后的搜索过程将不起任何作用。于是，下一转换至VISITED状态的顶点可等效地理解为是，从图中剔除顶点m（及其关联边）之后的出度为零者在拓扑排序中，该顶点应为顶点m的前驱。由此可见，DFS搜索过程中各顶点被标记为VISITED的次序，恰好（按逆序）给出了原图的一个拓扑排序。
此外，DFS搜索善于检测环路的特性，恰好可以用来判别输入是否为有向无环图。具体地，搜索过程中一旦发现后向边，即可终止算法并报告“因非DAG而无法拓扑排序”。
0001 template <typename Tv, typename Te> //基于DFS的拓扑排序算法
0002 Stack<Tv>* Graph<Tv, Te>::tSort ( Rank s ) { //assert: 0 <= s < n
0003 reset(); int clock = 0; Rank v = s;
0004 Stack<Tv>* S = new Stack<Tv>; //用栈记录排序顶点
0005 do {
0006 if ( UNDISCOVERED == status ( v ) )
0007 if ( !TSort ( v, clock, S ) ) { //clock并非必需
0008 while ( !S->empty() ) //任一连通域（亦即整图）非DAG
0009 S->pop(); break; //则不必继续计算，故直接返回
0010 }
0011 } while ( s != ( v = ( ++v % n ) ) );
0012 return S; //若输入为DAG，则S内各顶点自顶向底排序；否则（不存在拓扑排序），S空
0013 }
0014
0015 template <typename Tv, typename Te> //基于DFS的拓扑排序算法（单趟）
0016 bool Graph<Tv, Te>::TSort ( Rank v, int& clock, Stack<Tv>* S ) { //v < n
0017 dTime ( v ) = ++clock; status ( v ) = DISCOVERED; //发现顶点v
0018 for ( Rank u = firstNbr ( v ); -1 < u; u = nextNbr ( v, u ) ) //枚举v的所有邻居u
0019 switch ( status ( u ) ) { //并视u的状态分别处理
0020 case UNDISCOVERED:
0021 parent ( u ) = v; type ( v, u ) = TREE;
0022 if ( !TSort ( u, clock, S ) ) //从顶点u处出发深入搜索
0023 return false; //若u及其后代不能拓扑排序（则全图亦必如此），故返回并报告
0024 break;
0025 case DISCOVERED:
0026 type ( v, u ) = BACKWARD; //一旦发现后向边（非DAG），则
0027 return false; //不必深入，故返回并报告
0028 default: //VISITED (digraphs only)
0029 type ( v, u ) = ( dTime ( v ) < dTime ( u ) ) ? FORWARD : CROSS;
0030 break;
0031 }
0032 status ( v ) = VISITED; S->push ( vertex ( v ) ); //顶点被标记为VISITED时，随即入栈
0033 return true; //v及其后代可以拓扑排序
0034 }
实例：
留意观察各项点的入栈次序，并与6.11对比。
另外，对照图6.11中的结果可见，因多个极大、极小元素（入度、出度为零顶点）并存而导致拓扑排序的不唯一性并未消除，而是转由该算法对每趟DFS起点的选择策略决定。
复杂度：
空间：这里仅额外引入的栈，规模不超过顶点总数O(n)。总体而言，空间复杂度与基本的深度优先搜索算法同样，仍为O(n + e)。
时间：该算法的递归跟踪过程与标准DFS搜索完全一致，且各递归实例自身的执行时间依然保持为O(1)，故总体运行时间仍为O(n + e)
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