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一、题目描述

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

示例 1：

输入：nums = [10,9,2,5,3,7,101,18]

输出：4

解释：最长递增子序列是 [2,3,7,101]，因此长度为 4 。

示例 2：

输入：nums = [0,1,0,3,2,3]

输出：4

示例 3：

输入：nums = [7,7,7,7,7,7,7]

输出：1

提示：

1 <= nums.length <= 2500

-104 <= nums[i] <= 104

进阶：

你可以设计时间复杂度为 O(n2) 的解决方案吗？

你能将算法的时间复杂度降低到 O(n log(n)) 吗?

二、思路讲解

使用动态规划。dp[i]表示以nums[i]结尾的序列中的最大升序序列。

首先dp数组的初值为1，因为每个数字本身都是一个升序子序列。

然后定义指针j，j∈(0, i)。当nums[j] < nums[i]时，说明nums[i]可以接在以nums[j]结尾的序列之后，此时dp[i] = max{dp[i], dp[j]+1}；

然后找出dp数组中的最大值即可。

三、Java代码实现

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
 
        int len = nums.length;
        int []dp = new int[len];
        for(int i=0; i<len; i++){
            dp[i] = 1;
        }
        
        for(int i=0; i<len; i++){   //遍历数组中每一个数,dp[i]表示以nums[i]结尾的最大升序子序列长度
            for(int j=0; j<i; j++){ //遍历nums[i]之前的每一个数，若nums[j]<nums[i]，说明nums[i]可以接在nums[j]结尾的序列之后
                if(nums[j]<nums[i]){
                    dp[i] = Math.max(dp[j]+1, dp[i]);
                }
            }
        }
        int big = dp[0];
        for(int i=1; i<len; i++){
            if(dp[i]>big){
                big = dp[i];
            }
        }
        return big;
    }
}

四、时空复杂度

时间复杂度： O(N^2)

空间复杂度： O(N)