混合背包问题（14-14）DP刷题系列第十四天第十四题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」

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今天进行混合背包模型的学习。

混合背包

题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

物品一共有三类：

第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 $s_i$ 次（多重背包）；

每种体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N，V$ ，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

$s_i=−1$ 表示第 $i$ 种物品只能用1次；
$s_i=0$ 表示第 $i$ 种物品可以用无限次；
$s_i>0$ 表示第 $i$ 种物品可以使用 $s_i$ 次；

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$0<N,V≤10000$ $0<v_i,w_i≤10000$
$−1≤s_i≤1000$

输入样例

输出样例

题目分析

混合背包即对01背包、完全背包、多重背包的整合。

拿到题目，首先要分析所给的数据范围，由以往对背包的学习，我们可以知道混合背包的复杂度主要取决于多重背包的解法。

观察本题，可知 $O(nvlogs)$ 的二进制优化的多重背包可控制瓶颈通过本题。

在每件物品的数据读入中，根据 $s$ 的不同，我们对本件物品采用不同的做法，实现的细节如前几讲一致。

本次解法对二进制优化的代码进行了再次优化。

Accept代码 O(nvlogs)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 1010;
int f[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        
        if (!s)
        {
            for (int j = v; j <= m; j ++) f[j] = max(f[j], f[j - v] + w);
        }
        else
        {
            if (s == -1) s = 1;
            for (int k = 1; k <= s; k *= 2)
            {
                for (int j = m; j >= k * v; j --) f[j] = max(f[j], f[j - k * v] + k * w);
                s -= k;
            }
            if (s)
            {
                for (int j = m; j >= s * v; j --) f[j] = max(f[j], f[j - s * v] + s * w);
            }
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}