数据结构 | 第6章 图 概述

Steven_Wu
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第6章 图

6.1 概述

尽管在某种程度上，第5章所介绍的树结构也可用以表示一组对象间的二元关系，但仅限于父、子节点之间。

相互之间均可能存在二元关系的一组对象，从数据结构的角度分类，属于非线性结构（non-linear structure）。此类一般性的二元关系，属于图论（Graph Theory）的研究范畴。从算法的角度对此类结构的处理策略，与上一章相仿，也是通过遍历将其转化为半线性结构，进而借助树结构已有的处理方法和技巧，最终解决问题。

  • 图：

    定义为G = (V, E)，其中，集合V中的元素称作顶点（vertex）；集合E中的元素分别对应于V中的某一对顶点(u, v)，表示它们之间存在某种关系，故亦称作边（edge）

    从计算的需求出发，我们约定V和E均为有限集，通常将其规模分别记n = |V|和e = |E| 。

  • 无向图、有向图及混合图：

    无向边（undirected edge）：边(u, v)所对应顶点u和v的次序无所谓。故无向边(u, v)也可记作(v, u)

    有向边（directed edge）：u和v不对等。约定有向边(u, v)从u指向v，u称作起点(origin)或尾顶点(tail)，v称作终点(destination)或头顶点(head)

    无向图（undirected graph，简称undigraph）：E中各边均无方向

    有向图（directed graph，简称digraph）：E中只含有有向边

    混合图（mixed graph）：E中同时包含无向边和有向边

    image-20220708201248755.png 相对而言，有向图的通用性更强，因为无向图和混合图都可转化为有向图，如图6.1(c)所示，每条无向边(u, v)都可等效地替换为对称的一对有向边(u, v)和(v, u)。本章将主要针对有向图，介绍图结构及其算法的具体实现。

  • 度：

    在无向图中：与顶点v关联的边数，称作v的度数（degree），记作deg(v)

    在有向图中：对于有向边e = (u, v)，e称作u的出边（outgoing edge）、v的入边（incoming edge）。 v的出边总数称作其出度（out-degree），记作outdeg(v)；入边总数称作其入度（in-degree），记作indeg(v)

  • 简单图:

    不含任何自环（self-loop）的图称作简单图（simple graph），也是本书主要讨论的对象。

  • 通路与环路:

    通路 简单通路 环路 简单环路 有向无环图 欧拉环路 汉密尔顿环路

    image-20220708211951757.png

  • 带权网络

    各边均带有权重的图，称作带权图（weighted graph）或带权网络（weighted network），有时也简称网络（network），记作G(V, E, wt())。

  • 复杂度

    问题的输入规模应以顶点数与边数的总和（n + e）来度量

    无论顶点多少，边数都可能为0，即至少为0

    那么在包含n个顶点的图中至多有多少条边？无向：n(n - 1)/2 有向：有n(n - 1) （利用组合数算的）

    故总有 e = O(n2)O(n^2)

6.2 抽象数据类型

操作接口：

image-20220713103709538.png

Graph模板类：

 0001 using VStatus = enum { UNDISCOVERED, DISCOVERED, VISITED }; //顶点状态
 0002 using EType = enum { UNDETERMINED, TREE, CROSS, FORWARD, BACKWARD }; //边在遍历树中所属的类型
 0003 
 0004 template <typename Tv, typename Te> //顶点类型、边类型
 0005 class Graph { //图Graph模板类
 0006 private:
 0007    void reset() { //所有顶点、边的辅助信息复位
 0008       for ( Rank v = 0; v < n; v++ ) { //所有顶点的
 0009          status ( v ) = UNDISCOVERED; dTime ( v ) = fTime ( v ) = -1; //状态，时间标签
 0010          parent ( v ) = -1; priority ( v ) = INT_MAX; //（在遍历树中的）父节点，优先级数
 0011          for ( Rank u = 0; u < n; u++ ) //所有边的
 0012             if ( exists ( v, u ) ) type ( v, u ) = UNDETERMINED; //类型
 0013       }
 0014    }
 0015    void BFS ( Rank, int& ); //（连通域）广度优先搜索算法
 0016    void DFS ( Rank, int& ); //（连通域）深度优先搜索算法
 0017    void BCC ( Rank, int&, Stack<Rank>& ); //（连通域）基于DFS的双连通分量分解算法
 0018    bool TSort ( Rank, int&, Stack<Tv>* ); //（连通域）基于DFS的拓扑排序算法
 0019    template <typename PU> void PFS ( Rank, PU ); //（连通域）优先级搜索框架
 0020 public:
 0021 // 顶点
 0022    int n; //顶点总数
 0023    virtual Rank insert ( Tv const& ) = 0; //插入顶点，返回编号
 0024    virtual Tv remove ( Rank ) = 0; //删除顶点及其关联边，返回该顶点信息
 0025    virtual Tv& vertex ( Rank ) = 0; //顶点的数据（该顶点的确存在）
 0026    virtual int inDegree ( Rank ) = 0; //顶点的入度（该顶点的确存在）
 0027    virtual int outDegree ( Rank ) = 0; //顶点的出度（该顶点的确存在）
 0028    virtual Rank firstNbr ( Rank ) = 0; //顶点的首个邻接顶点
 0029    virtual Rank nextNbr ( Rank, Rank ) = 0; //顶点（相对当前邻居的）下一邻居
 0030    virtual VStatus& status ( Rank ) = 0; //顶点的状态
 0031    virtual int& dTime ( Rank ) = 0; //顶点的时间标签dTime
 0032    virtual int& fTime ( Rank ) = 0; //顶点的时间标签fTime
 0033    virtual Rank& parent ( Rank ) = 0; //顶点在遍历树中的父亲
 0034    virtual int& priority ( Rank ) = 0; //顶点在遍历树中的优先级数
 0035 // 边：这里约定，无向边均统一转化为方向互逆的一对有向边，从而将无向图视作有向图的特例
 0036    int e; //边总数
 0037    virtual bool exists ( Rank, Rank ) = 0; //边(v, u)是否存在
 0038    virtual void insert ( Te const&, int, Rank, Rank ) = 0; //在两个顶点之间插入指定权重的边
 0039    virtual Te remove ( Rank, Rank ) = 0; //删除一对顶点之间的边，返回该边信息
 0040    virtual EType & type ( Rank, Rank ) = 0; //边的类型
 0041    virtual Te& edge ( Rank, Rank ) = 0; //边的数据（该边的确存在）
 0042    virtual int& weight ( Rank, Rank ) = 0; //边(v, u)的权重
 0043 // 算法
 0044    void bfs ( Rank ); //广度优先搜索算法
 0045    void dfs ( Rank ); //深度优先搜索算法
 0046    void bcc ( Rank ); //基于DFS的双连通分量分解算法
 0047    Stack<Tv>* tSort ( Rank ); //基于DFS的拓扑排序算法
 0048    void prim ( Rank ); //最小支撑树Prim算法
 0049    void dijkstra ( Rank ); //最短路径Dijkstra算法
 0050    template <typename PU> void pfs ( Rank, PU ); //优先级搜索框架
 0051 };

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