当青训营遇上码上掘金

当青训营遇上码上掘金

寻友之旅

小青要找小码去玩，他们的家在一条直线上，当前小青在地点 N ，小码在地点 K （0≤N , K≤100 000），并且小码在自己家原地不动等待小青。小青有两种交通方式可选：步行和公交。
步行：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 X-1 或 X+1
公交：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 2×X （公交不可以向后走）

请帮助小青通知小码，小青最快到达时间是多久？
输入： 两个整数 N 和 K
输出： 小青到小码家所需的最短时间（以分钟为单位）

动态规划解法：

1. 小青在小码前面———— 步行回退 return N-K

2. 小青就在小码位置—— return 0

3. 小青在小码后面——动态规划

   • 状态定义

     int* dp = new int[100000] {}; //dp[i]：从N到i需要花费最短时间
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   • 初始状态

     dp[N] = 0; // 从N到N需要花费0分钟
     res = INT_MAX; // 最短时间初始化为INT_MAX
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   • 结果：最短时间

     /*
         res = min（从N到K的最短时间，从N到K+j再回退j的最短时间）
             = min (dp[K], dp[k+j]+j);
     */
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   • 状态转移

     /*
         0=<i<N——dp[i] = dp[i+1]+1; 步行回退   
         i>N————dp[i] = min(步行到i，总公交到i)+1  
                      = min(dp[i-1], dp[i/2])+1;                       i-1>=0且i/2为偶数
                      = min(dp[i-1], dp[(i-1)/2]+1, dp[(i+1)/2]+1)+1;  i-1>=0且i/2为奇数
     */
     for (int i = N - 1; i >= 0; i--) {
         dp[i] = dp[i + 1] + 1;
     }
     for (int i = N + 1; i <= 100000; i++) {
         int walk = dp[i - 1] + 1;
         int bus = dp[i / 2] + 1;
         if (i % 2 != 0) { bus = min(dp[(i + 1) / 2], dp[(i - 1) / 2]) + 2; }
         dp[i] = min(walk, bus);
         
         if (i >= K) {
             res = min(res, dp[i] + i - K);
         }
     }
     

动态规划（Dynamic Programming，DP）是运筹学的一个分支，是求解决策过程最优化的过程。20世纪50年代初，美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名的最优化原理，从而创立了动态规划。动态规划的应用极其广泛，包括工程技术、经济、工业生产、军事以及自动化控制等领域，并在背包问题、生产经营问题、资金管理问题、资源分配问题、最短路径问题和复杂系统可靠性问题等中取得了显著的效果。