数据结构与算法之高级搜索（剪枝）开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更文挑战」的第 14 天，点击查看

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作者：千石
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前言

本文内容来自我平时学习的一些积累，如有错误，还请指正

在题目实战部分，我将代码实现和代码解释设置在了解题思路的下方，方便各位作为参考刷题

一些话

本文内容来自我平时学习的一些积累，如有错误，还请指正

在题目实战部分，我将代码实现和代码解释设置在了解题思路的下方，方便各位作为参考刷题

题目练习步骤：

给自己10分钟，读题并思考解题思路
有了思路以后开始写代码，如果在上一步骤中没有思路则停止思考并且看该题题解
在看懂题解（暂时没看懂也没关系）的思路后，背诵默写题解，直至能熟练写出来
隔一段时间，再次尝试写这道题目

前置知识

剪枝

剪枝是一种常用的算法优化技术，其本质是减少搜索空间，避免无效搜索，从而提高算法效率。在数据结构与算法中，剪枝常常用于搜索、动态规划等算法中。

剪枝的实现方式有很多种，以下是一些常用的剪枝技术：

回溯剪枝

回溯算法通常采用深度优先搜索策略，枚举所有可能的解，然后进行剪枝，排除一些不符合条件的解。回溯剪枝是一种剪枝技术，通过记录已经搜索过的状态，避免重复搜索，从而减少搜索次数。回溯剪枝常常用于求解排列、组合等问题。

动态规划剪枝

动态规划剪枝通常用于解决最优化问题。该技术通常采用备忘录或者状态转移方程等方式，记录已经计算过的结果，避免重复计算，从而提高算法效率。动态规划剪枝通常用于求解最短路径、最大连续子序列和等问题。

前缀和剪枝

前缀和剪枝通常用于解决区间和问题。该技术通过预处理前缀和数组，快速计算任意区间的和，避免重复计算，从而提高算法效率。前缀和剪枝常常用于求解子数组和等问题。

启发式剪枝

启发式剪枝通常采用一些启发式规则，根据问题的特点，对搜索空间进行剪枝。启发式剪枝的关键是设计好剪枝规则，通常需要对问题进行深入理解和分析。启发式剪枝常常用于求解最优化问题，如TSP（旅行商问题）等。

剪枝的特性：
1. 提高算法效率：剪枝可以减少搜索空间，避免无效搜索，从而提高算法效率。
2. 需要合适的剪枝策略：剪枝的效果取决于剪枝策略的合理性和优化程度，需要根据具体问题选择适合的剪枝策略。
3. 可能会导致漏解：某些剪枝策略可能会排除一些合法解，需要进行验证和修正。
4. 与算法结合使用：剪枝通常需要与其他算法结合使用，如回溯、动态规划、分治等。

实战

题目一：51. N 皇后

解题思路

这是一道经典的搜索问题，可以采用回溯算法来求解，思路如下：

初始化一个空的棋盘，大小为N*N，其中所有的位置都为0（表示没有皇后）。
从第一行开始，逐行搜索。对于每一行，从第一列开始，逐列尝试放置皇后。如果该位置可以放置皇后（即该位置的同一行、同一列、同一对角线上都没有其他皇后），则将该位置标记为1，表示放置了皇后。
如果所有的皇后都已经放置完毕，将当前棋盘保存到结果中，并回溯到上一行，尝试该行的下一个位置。
如果当前行的所有位置都已经尝试完毕，回溯到上一行，将该行当前位置标记为0（表示没有皇后），继续尝试该行的下一个位置。
如果所有的行都已经尝试完毕，算法结束，返回所有合法的解。

Tips：在每一行中，我们只能放置一个皇后，因此每个皇后的位置是互斥的。此外，每个皇后所在的行、列、主对角线和副对角线上都不能有其他皇后，因此需要使用列剪枝和斜线剪枝来排除不合法的解。

在回溯算法的基础上，我们可以通过剪枝来优化算法效率。具体来说，我们可以通过以下两种剪枝方式来优化算法：

列剪枝：在搜索的过程中，我们可以维护一个列表，记录每一列是否已经有皇后占用。当我们在搜索的某一行尝试放置皇后时，只需要考虑未被占用的列，即可避免重复搜索。
斜线剪枝：在搜索的过程中，我们可以维护两个集合，分别记录已经被占用的主对角线和副对角线。当我们在搜索的某一行尝试放置皇后时，只需要考虑未被占用的主对角线和副对角线，即可避免重复搜索。

复杂度分析

时间复杂度：在最坏情况下，N皇后问题的时间复杂度是指数级别的，即 $O(N!)$ 。但是通过列剪枝和斜线剪枝，可以大大减少搜索空间，提高算法效率。具体来说，列剪枝可以将搜索空间减少到 $O(N^N)$ ，而斜线剪枝可以将搜索空间减少到 $O(2N)$ 。因此，综合考虑，N皇后问题的时间复杂度可以近似为 $O(N^N)$ 。

代码实现

class Solution:
    def solveNQueens(self, n: int) -> List[List[str]]:
        self.res = []
        self.cols = [False] * n # 记录每一列是否已经有皇后占用
        self.diag1 = [False] * (2 * n - 1) # 记录主对角线是否已经有皇后占用
        self.diag2 = [False] * (2 * n - 1) # 记录副对角线是否已经有皇后占用
        self.helper([], n, 0)
        return self.res
    
    def helper(self, cur, n, row):
        if row == n:
            self.res.append(self.format_res(cur))
            return
        for col in range(n):
            if self.valid_pos(row, col, n):
                self.cols[col] = True
                self.diag1[row + col] = True
                self.diag2[row - col + n - 1] = True
                cur.append(col)
                self.helper(cur, n, row + 1)
                cur.pop()
                self.cols[col] = False
                self.diag1[row + col] = False
                self.diag2[row - col + n - 1] = False
    
    def valid_pos(self, row, col, n):
           return not self.cols[col] and not self.diag1[row + col] and not self.diag2[row - col + n - 1]

    def format_res(self, cur):
        res = []
        for col in cur:
            row_str = '.' * col + 'Q' + '.' * (len(cur) - col - 1)
            res.append(row_str)
        return res

数据结构与算法之高级搜索（剪枝）

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