多重背包问题 III（13-13）DP刷题系列第十三天第十三题开启掘金成长之旅！这是我参与「掘金日新计划 · 2 月更

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今天进行多重背包模型最后一题。

多重背包 III

题目描述

有 $N$ 种物品和一个容量是 $V$ 的背包。

第 $i$ 种物品最多有 $s_i$ 件，每件体积是 $v_i$ ，价值是 $w_i$ 。

求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数， $N,V$ ，用空格隔开，分别表示物品种数和背包容积。

接下来有 $N$ 行，每行三个整数 $v_i,w_i,s_i$ ，用空格隔开，分别表示第 $i$ 种物品的体积、价值和数量。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

$\pmb{0<N≤1000}$

$\pmb{0<V\le 20000}$

$\pmb{0<v_i,w_i,s_i≤10000}$

输入样例

输出样例：

题目分析

本题是楼天城 "男人八题" 中的一道题目，解法为单调队列优化多重背包。

相较于昨天的多重背包题目，本题数据范围再次扩大，即使是 $O(nvlogs)$ 的算法也无法通过全部样例。

首先我们将多重背包的转移方程列出， $f[i][j]$ 表示从前 $i$ 件物品中选，总体积不大于 $j$ 的最优解。

$\begin{cases} f[i,j]=max(f[i-1,j],\;f[i-1,j-v]+w,\;f[i-1,j-2v]+2w,\;\dots ,f[i-1,j-sv]+sw) \\f[i,j-v]=max(f[i-1,j-v],\;f[i-1,j-2v]+w,\;\dots ,f[i-1,j-v-sv]+sw) \\\dots \\f[i,r+2v]=max(f[i-1,r+2v],\;f[i-1,r+v]+w,\;f[i-1,r]+2w) \\f[i,r+v]=max(f[i-1,r+v],\;f[i-1,r]+w,) \\f[i,r]=f[i-1,r] \end{cases}$

其中 $r=j\; \text{mod} \;v$ 。

经过观察可以发现，在不考虑偏移量 $w$ 的情况下， $f[i,j]$ 是数量为 $s$ 的相邻 $f[i-1,j],f[i-1,j-v]\dots f[i-1,j-sw]$ 中的最大值。

于是可以使用滑动窗口进行优化。

考虑到偏移量 $w$ 的存在，由于其随着 $f[i-1,j]$ 中 $j$ 距离初始点 $r$ 距离越近所加的 $w$ 越大，且每相隔一个 $v$ 便增加一个 $w$ ，而我们仅考虑目标项中的最大值的下标而不需知道具体数值，则可以采取变加为减的方法，每距离 $r$ 多一个 $v$ 便多减一个 $w$ 。

然后我们枚举对于物品 $i$ 的体积 $j$ 的所有余数 $0\sim j-1$ ，便可得到 $f[i,j]$ 。

如果尝试一维数组，发现每次枚举余数会已经改变 $f[i,j]\;(即下一个余数的f[i-1][j])$ 的值，所以需要多开一维数组存第 $i-1$ 层的值。

最终复杂度可以控制到 $O(NV)$ 。

Accept代码 O(NV)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 20010;
int f[N], g[N], q[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 0; i < n; i ++)
    {
        int v, w, s;
        cin >> v >> w >> s;
        memcpy(g, f, sizeof f);
        for (int j = 0; j < v; j ++)
        {
            int hh = 0, tt = -1;
            for (int k = j; k <= m; k += v)
            {
                while (hh <= tt && k - q[hh] > s * v) hh ++;
                while (hh <= tt && g[q[tt]] - q[tt] / v * w <= g[k] - k / v * w) tt --;
                q[++ tt] = k;
                f[k] = g[q[hh]] + (k - q[hh]) / v * w;
            }
        }
    }
    cout << f[m];
    return 0;
}