数据结构 | 第5章 Huffman编码

5.5 Huffman编码

5.5.1 PFC编码及解码

总体框架：

 0001 int main ( int argc, char* argv[] ) { //PFC编码、解码算法统一测试入口
 0002    PFCForest* forest = initForest(); //初始化PFC森林
 0003    PFCTree* tree = generateTree ( forest ); release ( forest ); //生成PFC编码树
 0004    PFCTable* table = generateTable ( tree ); //将PFC编码树转换为编码表
 0005    for ( int i = 1; i < argc; i++ ) { //对于命令行传入的每一明文串
 0006       Bitmap codeString; //二进制编码串
 0007       int n = encode ( table, codeString, argv[i] ); //将根据编码表生成（长度为n）
 0008       decode ( tree, codeString, n ); //利用编码树，对长度为n的二进制编码串解码（直接输出）
 0009    }
 0010    release ( table ); release ( tree ); return 0; //释放编码表、编码树
 0011 } //release()负责释放复杂结构，与算法无直接关系，具体实现详见代码包

5.5.2 最优编码树

同一字符集的所有编码方案中，平均编码长度最小者称作最优方案；对应编码树的ald()值也达到最小，故称之为最优二叉编码树，简称最优编码树（optimal encoding tree）。

• 双子性：首先，最优编码树必为真二叉树：内部节点左右孩子全双。

  

• 层次性：最优编码树中，叶节点位置的选取有严格限制——深度之差不得超过1。

  

上图中：交换y与子树p，平均编码长度更短。（交换：swap）

• 最优编码树的构造

由上可知，最优编码树中的叶节点只能出现于最低两层，故这类树的一种特例就是真完全树。由此，可以直接导出如下构造最优编码树的算法：创建一棵规模为2|Σ| - 1的完全二叉树T，再将Σ中的字符任意分配给T的|Σ|个叶节点。

5.5.3 Huffman编码树

• 字符出现概率

  以上最优编码树算法的实际应用价值并不大，原因在于各字符在文本串中出现的频率不一致。

• 带权平均编码长度与叶节点带权平均深度

  

• 完全二叉树编码 != wald()最短

  

• 最优带权编码树

  一方面，最优带权编码树必须满足双子性；

  另一方面，尽管最优编码树不一定仍是完全的，却依然满足某种意义上的层次性。

• 层次性

  字符出现概率越低，越处于底层。

5.5.4 Huffman编码算法

• 原理与构思

  设字符x和y在Σ中出现的概率最低，考查另一字符集Σ' = (Σ \ {x, y}) ∪ {z}

  其中\表示剔除的意思，而字符z出现的概率为 p(z) = p(x) + p(y)

  操作方法：任取Σ'的一棵最优带权编码树T'，于是根据层次性，只需将T'中与字符z对应的叶节点替换为内

  部节点，并在其下引入分别对应于x和y的一对叶节点，即可得到Σ的一棵最优带权编码树。

  

• 策略与算法

  已知：字符集Σ，其中所有字符概率已知

  求：最优带权编码树

  构造方法：

  0. 对Σ中每一字符分别建立一颗单个节点的树，其权重取作该字符的频率，这|Σ|棵树构成一个森林F
  1. 从F中选出权重最小的两棵树，创建一个新的节点，并分别以这两颗树作为其左、右子树，合并为一颗更高的树，其权重为二者之和。（合并的新树可以等效视作一个字符，称作超字符）
  2. 反复进行选取、合并的过程，每经过一轮迭代，F中的树就减少一颗。当最终F仅包含一棵树时，它就是一颗最优带权编码树

  以上构造过程称作Huffman编码算法，由其生成的编码树称作Huffman编码树（Huffman encoding tree）。

  需要强调的是，Huffman编码树只是最优带权编码树中的一棵。

  

• 总体框架

   0001 /******************************************************************************************
   0002  * 无论编码森林由列表、完全堆还是左式堆实现，本测试过程都可适用
   0003  * 编码森林的实现方式采用优先级队列时，编译前对应的工程只需设置相应标志：
   0004  *    DSA_PQ_List、DSA_PQ_ComplHeap或DSA_PQ_LeftHeap
   0005  ******************************************************************************************/
   0006 int main ( int argc, char* argv[] ) { //Huffman编码算法统一测试
   0007    int* freq = statistics ( argv[1] ); //根据样本文件，统计各字符的出现频率
   0008    HuffForest* forest = initForest ( freq ); release ( freq ); //创建Huffman森林
   0009    HuffTree* tree = generateTree ( forest ); release ( forest ); //生成Huffman编码树
   0010    HuffTable* table = generateTable ( tree ); //将Huffman编码树转换为编码表
   0011    for ( int i = 2; i < argc; i++ ) { //对于命令行传入的每一明文串
   0012       Bitmap* codeString = new Bitmap; //二进制编码串
   0013       int n = encode ( table, codeString, argv[i] ); //将根据编码表生成（长度为n）
   0014       decode ( tree, codeString, n ); //利用Huffman编码树，对长度为n的二进制编码串解码
   0015       release ( codeString );
   0016    }
   0017    release ( table ); release ( tree ); return 0; //释放编码表、编码树
   0018 } //release()负责释放复杂结构，与算法无直接关系，具体实现详见代码包
  

• 总体运行时间：每迭代一次，森林的规模减一，故共需迭代n - 1次，直到只剩最后一棵树。 $O(n) + O(n - 1) + ... + O(2) = O(n^2)$

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