夯实算法-石子游戏 II

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题目：LeetCode

爱丽丝和鲍勃继续他们的石子游戏。许多堆石子 排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i]。游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。

爱丽丝和鲍勃轮流进行，爱丽丝先开始。最初，M = 1。

在每个玩家的回合中，该玩家可以拿走剩下的 前 X 堆的所有石子，其中 1 <= X <= 2M。然后，令 M = max(M, X)。

游戏一直持续到所有石子都被拿走。

假设爱丽丝和鲍勃都发挥出最佳水平，返回爱丽丝可以得到的最大数量的石头。

示例 1：

输入： piles = [2,7,9,4,4]
输出： 10
解释： 如果一开始Alice取了一堆，Bob取了两堆，然后Alice再取两堆。爱丽丝可以得到2 + 4 + 4 = 10堆。如果Alice一开始拿走了两堆，那么Bob可以拿走剩下的三堆。在这种情况下，Alice得到2 + 7 = 9堆。返回10，因为它更大。

示例 2:

输入： piles = [1,2,3,4,5,100]
输出： 104

提示：

• 1 <= piles.length <= 100
• $1 <= piles[i] <= 10^4$

解题思路

gengju

• dp[i][j] 代表从第i个石子堆开始拿j个石子的最大石子数
• 根据上面的回溯可得转移方程:
  • i+2*m>=len 直接取剩下的石子数 dp[i][m] = sum[i]
  • i+2m <len 遍历所有的1<=x<2m情况 既然要求第一个拿的最多,那么肯定要求出第二个人拿的最少 即 $dp[i][j] = max(dp[i][j], sum[i]- dp[i+x][sum(j,x)])$
• 初始化: 默认都为0
• 结果: dp[0][1]

代码实现

public static int stoneGameII1(int[] piles) {
    int length = piles.length;
    int sum = 0;
    int[][] dp = new int[length][length + 1];
    for (int i = length - 1; i >= 0; i--) {
        sum += piles[i];
        for (int j = 1; j <= length; j++) {
            if (i + 2 * j >= length) {
                dp[i][j] = sum;
            } else {
                for (int x = 1; x <= 2 * j; x++) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], sum - dp[i + x][Math.max(j, x)]);
                }
            }
        }
    }
    return dp[0][1];
}

运行结果

复杂度分析

• 空间复杂度：$O(1)$
• 时间复杂度：$O(n)$

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