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最小生成树最原始的模板题

题目描述

样例

以模板题为例子解释开始图文分析

根据给出的案例如图所示：

将所有的点距离初始化为正无穷。

迭代n次 for (int i = 0; i < n; i++ ){ }

1. 找到集合外最近的点，赋值为t
2. 用t更新其他点到集合的距离（某一个点到集合的距离：这个点到集合内部的所有边当中的长度最短的边）
3. 将t放到集合里面去 st[t] = true;

挑一个点放入集合中（这里挑①号点）

用这个点更新其它点到 集合 的距离。（看其它点有没有一条边能连向集合内部），则点②更新为1，点③更新为2，点④更新为3

在其它点（②③④）中，选一个距离集合(这里的集合只有点①)最近的点，即②，看是否能通过②这个点，更新其它点的距离， ①——②——③ 距离为3 大于 ①——③，所以不能更新，②没有到④的线，所以总体无变化 ，则把点②加到集合中去，此时①——②这条边是属于集合的一条边。

选下一个点③，①——④ 距离为3，①——③——④距离为6 总体无变化，将③加到集合中 由于①——③和②——③这两条边的距离相等，所以只选一条边加入即可。 最后把④也加入集合。

或者：

绿色的部分为集合。

生成树： 每次选中的这个点，它的距离对应的那条边就是生成树里的一条边。 最终这个集合就是这个案例最终的最小生成树。

最小生成树常见案例： 地图上有n个城市（已知坐标），要在城市之间铺设城际公路，使得城市与城市之间可以相互连通。问铺设城际公路最小的总长度是多少？

（最小生成树中正边和负边 ‘权重的正负’ 无关，都可以。）

（集合：代表当前已经在连通块的所有点)

重点在prim()函数

AC代码：（代码有详细的注释！）

#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;

const int N = 510;

int n, m;//n代表点，m代表边
int g[N][N];//邻接矩阵
int dist[N];//距离
bool st[N];//判断该点是否在集合内

int prim() {
    memset(dist, inf, sizeof dist);//所有距离初始化为正无穷
    //n次迭代
    int res = 0;//存最小生成树里面所有长度之和
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        //找到集合外，距离最短的点
        int t = -1;//初始 化t == -1 表示我们当前还没有找到任何一个点。
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            //在集合外，t == -1还没有找到任何一个点 || t的距离大于j的距离
            if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j])) t = j;//就把t 更新成 j
        }
        //如果不是第一个点，当前距离最近的点到我的距离都是正无穷，说明当前这个图是不连通的，说明不存在最小生成树
        if (i && dist[t] == inf) return inf;
        //如果只要不是第一个点，就把dist[t]加到最小生成树的长度和里面去。只要不是第一个点，dist[t]表示当前这个点和现在已经连好的生成树里面的某一条边的长度。而且dist[t]代表一条树边，所以加上就可以了
        if (i) res += dist[t];
        st[t] = true;//将点加到树里面去。
        // 这里要先更新再累加，不然会出现自环问题，最小生成树是不存在环的。
        for (int j = 1; j <= n; j++) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);  //用t更新一下，其他点到 集合 的距离
    }
    return res;   //结束之后，t存的就是当前距离最小的点
}
int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    memset(g, inf, sizeof g);//初始化为 +∞
    //读入所有边
    while(m--) {
        int a, b, c;
        scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
        //无向图，就是建一条从a到b，再建一条从b到a的就可以了
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);//可能有重边，求一个min即可
        
    }
    int t = prim();
    if (t == inf) printf("impossible\n");   //如果最终t == inf，则证明不存在这样的最小生成树
    else printf("%d\n", t);
    return 0;
}