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前言

算法的重要性不言而喻！区分度高！

现在学习的门槛低了，只有能上网每个人都可以学编程！培训班6个月就可以培养出来能干活的人，你怎么从这些人中脱颖而出？没错！就是学算法，学一些底层和基础的东西。

说的功利点是为了竞争，卷死对手。真心话说就是能提高自己的基础能力，为技术可持续发展做好充分的准备！！！

提前入门学习书籍：CPrimerPlus、大话数据结构

刷题网站

代码随想录 (programmercarl.com)

leetcode

我是按照代码随想录提供的刷题顺序进行刷题的，大家也可以去刷leetcode最热200道，都可以

刷题嘛，最重要的就是坚持了！！！

画图软件

OneNote

这个要经常用，遇见不懂的流程的话就拿它画一画！

笔记软件

Typoral

01背包理论基础

什么是01背包？

有n件物品和一个最多能背重量是w的背包里，第i件物品的重量是weight[i],价值是value[i]。每件物品只能用一次，怎么装才能得到价值最大

举例

背包最大重量为4。

物品为：

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	20
物品2	4	30

问背包能背的物品最大价值是多少？

解析

暴力解法不在分析，就是用回溯搜索出所有可能，取最大价值，时间复杂度为2的n次方

这里我们使用DP来分析，直接上五部曲！

动态规划解题套路

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]表示从下标为0，i的物品中任意取，放进容量为j的背包，最大价值就是dp[i][j]

确定递推公式

确定递推公式的时候就要想一想推导出dp[i][j]有几种方式

不放物品i：由dp[i -1][j]推出，意思就是不放物品i的最大价值
放物品i：由上面的不放物品i得到的最大价值可以推出不放物品i背包剩余的体积应该为j - weight[i]，那么放物品i得到的最大价值呢？dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]

所以递推公式就是：dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])

所以仔细分析一通，感觉是不是也没那么难呢？

i-1什么意思？？？

一共5个物品，第5个不放了，还剩几个？

还剩4个啊

那一共5个物品，第3个不放了，还剩几个？

还剩4个啊

所以一共i个物品。第i个不放了，还剩几个？

还剩i-1个啊

所以我们可以知道i-1代表的是剩余的物品

dp数组如何初始化

初始化也要看状态转移方程，我们可以看出i是由i-1推导而来的，所以i为0的时候要进行初始化

dp[0][j]，代表的就是取第一件物品，背包能存放的最大价值

如果j < weight[0],也就是背包容量没有物品容量大，啥也放不进去啊，最大价值就是0

如果j>=weight[0],那最大价值就是物品的价值喽，value[i]

所以初始化代码如下：

for(int j = 0; j < weight[0];j++){
    dp[0][j] = 0;
}

for(int j = weight[0]; j >= weight[0];j++){
    dp[0][j] = value[0];
}

画图来表示一下：

dp[0][j] 和 dp[i][0] 都已经初始化了，那么其他下标应该初始化多少呢？

其实从递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出dp[i][j] 是由左上方数值推导出来了，那么其他下标初始为什么数值都可以，因为都会被覆盖。

代码如下：

for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
    dp[0][j] = value[0];
}

初始化完成如下图：

确定遍历顺序

这里有两个变量，物品和背包重量，那么我们先遍历那个呢？

都可以！这里演示先遍历物品再遍历背包的代码

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagweight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

先遍历物品再遍历背包过程如图所示：

先遍历背包再遍历物品过程如图所示：

举例推导dp数组

别人已经推导好了，我们来看看

是不是非常的神奇呢?

第一次写要多理解DP的套路，然后多练习就可以了！

完整代码

看不懂？没办法，多写多练多总结！

还是带入代码到示例中多去总结多练习！

public class BagProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weight = {1,3,4};
        int[] value = {15,20,30};
        int bagSize = 4;
        testWeightBagProblem(weight,value,bagSize);
    }

    public static void testWeightBagProblem(int[] weight, int[] value, int bagSize){

        // 创建dp数组
        int goods = weight.length;  // 获取物品的数量
        int[][] dp = new int[goods][bagSize + 1];

        // 初始化dp数组
        // 创建数组后，其中默认的值就是0
        for (int j = weight[0]; j <= bagSize; j++) {
            dp[0][j] = value[0];
        }

        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i < weight.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= bagSize; j++) {
                if (j < weight[i]) {
                    /**
                     * 当前背包的容量都没有当前物品i大的时候，是不放物品i的
                     * 那么前i-1个物品能放下的最大价值就是当前情况的最大价值
                     */
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                } else {
                    /**
                     * 当前背包的容量可以放下物品i
                     * 那么此时分两种情况：
                     *    1、不放物品i
                     *    2、放物品i
                     * 比较这两种情况下，哪种背包中物品的最大价值最大
                     */
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j] , dp[i-1][j-weight[i]] + value[i]);
                }
            }
        }

        // 打印dp数组
        for (int i = 0; i < goods; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.print(dp[i][j] + "\t");
            }
            System.out.println("\n");
        }
    }
}

LeetCode每日1题--01背包理论基础

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