P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统（11-11）

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P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统 - 洛谷

题目背景

NOIP2018 提高组 D1T2

题目描述

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] \times t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

样例输入

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

样例输出

2   
5

提示

在第一组数据中，货币系统 $(2, [3,10])$ 和给出的货币系统 $(n, a)$ 等价，并可以验证不存在 $m < 2$ 的等价的货币系统，因此答案为 $2$。 在第二组数据中，可以验证不存在 $m < n$ 的等价的货币系统，因此答案为 $5$。

【数据范围与约定】

对于 $100\%$ 的数据，满足 $1 ≤ T ≤ 20, n,a[i] ≥ 1$。

题目分析

这是一道完全背包的问题。

题目有些绕口，首先进行简化描述。

定义 $(n,a)$ 为一个货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统。

货币系统中的每种面额的货币可以使用任意个，其总值 $x=k_1a_1 + k_2a_2 + \dots + k_na_n,\;k_i\ge0$。

我们定义 $(m,b)$ 与 $(n,a)$ 等价即两系统对于任意的 $x$ 都可以表示或都不能表示。

求 $m$ 的最小值。

我的解法是用完全背包求值域里每个金币面额的方案数，然后再依次枚举 $a_i$，若 $f[i]>1$，则其除了自身还可以被其他货币组合替换。

题目就转化为类似上篇文章的问题，由于上篇文章最终方案数过大，所以本次解法做了一些优化。

Accept代码 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110, M = 25010;
int a[N], f[M];

int main()
{
    int t; cin >> t;
    while (t --)
    {
        memset(f, 0, sizeof f);
        
        int n; cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i ++) cin >> a[i];
        int m = *max_element(a, a + n);     // 减少第二层枚举数量
        
        f[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            for (int j = a[i]; j <= m; j ++)
            {
                f[j] += f[j - a[i]];
                f[j] = min(f[j], 2);    // 防止方案数爆int（实际本题没有超出int范围）
            }
        int res = n;
        for (int i = 0; i < n; i ++)
            if (f[a[i]] > 1) res --;
        cout << res << "\n";
    }
    return 0;
}