复杂度分析（上）

为什么需要复杂度分析？

把代码跑一遍，通过统计、监控，就得到的法执行的时间和占用的内存大小叫事后统计法。但是，这种统计方法有非常大的局限性。

1. 测试结果非常依赖测试环境
2. 测试结果受数据规模的影响很大

我们需要一个不用具体的测试数据来测试，就可以粗略地估计算法的执行效率的方法——空间复杂度分析方法。

大 O 复杂度表示法

T(n)=O(f(n))

T(n) 表示代码执行的时间；n 表示数据规模的大小；f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式，所以用 f(n) 来表示。公式中的 O，表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。

所以，T(n) = O(2n+2), T(n) = O(2n2+2n+3)都是大 O 时间复杂度表示法。大 O 时间复杂度实际上并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度（asymptotic time complexity），简称时间复杂度。

时间复杂度分析

1. 只关注循环执行次数最多的一段代码
2. 加法法则：总复杂度等于量级最大的那段代码的复杂度
3. 乘法法则：嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

几种常见时间复杂度实例分析

多项式量级：$O(1)$, $O(logn)$, $O(n)$, $O(nlogn)$, $O(n^2)$, $O(n^3)$...k次方阶$O(n^k)$

非多项式量级只有两个：$O(2n)$ 和 $O(n!)$。

我们把时间复杂度为非多项式量级的算法问题叫作 NP（Non-Deterministic Polynomial，非确定多项式）问题。

当数据规模 n 越来越大时，非多项式量级算法的执行时间会急剧增加，求解问题的执行时间会无限增长。所以，非多项式时间复杂度的算法其实是非常低效的算法。

$O(m+n)、O(m*n)$：m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大，所以我们在表示复杂度的时候，就不能简单地利用加法法则，省略掉其中一个。所以，上面代码的时间复杂度就是 O(m+n)。O(m*n)同理。

空间复杂度分析

算法的存储空间与数据规模之间的增长关系

看临时申请占用存储空间的大小算空间复杂度

常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )，像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。

此文章为 2 月Day6学习笔记，内容来源于 极客时间《数据结构与算法之美》。