青训营 X 码上掘金--攒青豆

当青训营遇上码上掘金

青训营期间来一波码上掘金，那么势必要来一场激情的碰撞，今天我选择的主题是攒青豆，青豆给我攒的满满的。

主题 4：攒青豆

现有 n 个宽度为 1 的柱子，给出 n 个非负整数依次表示柱子的高度，排列后如下图所示，此时均匀从上空向下撒青豆，计算按此排列的柱子能接住多少青豆。（不考虑边角堆积）

以下为上图例子的解析： 输入：height = [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 输出：17 解析：上面是由数组 [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 表示的柱子高度，在这种情况下，可以接 17 个单位的青豆。

看到上面的题目突然想到了之前刷过的一道题目：接雨水。立马去回顾了当时做接雨水问题时的解决思路。

对于这个题目我们首先要想到的解决方案就是动态规划。那么首先就需要明白动态规划是什么？

原理

思想：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步步获取最优解的处理算法。按顺序求解子阶段，前面子问题的解为后面子问题的求解提供信息。

如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来。

动态规划算法的基本思想是：将待求解的问题分解成若干个相互联系的子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解；对于重复出现的子问题，只在第一次遇到的时候对它进行求解，并把答案保存起来，让以后再次遇到时直接引用答案，不必重新求解。动态规划算法将问题的解决方案视为一系列决策的结果。

适用的情况

1. 最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理。
2. 没有后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说：某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。
3. 有重叠子问题：子问题之间是不独立的，一个子问题在下一个近阶段可能被多次遇到。（这条性质不是动态规划适用的必要条件，但是具备这条性质那么动态规划相对于其他算法就具备一定的优势）。

做题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

攒青豆题目详解

回归到该题目中，对于$i$处，接到的青豆数量的高度为两边的最大高度的最小值减去此时处于$i$处的本身柱子的高度。首先想到的方法就是从左从右依次记录两边的最大高度，然后计算每个下标能够接的青豆量，最后相加。

我们通过动态规划的方法，可以在$O(n)$的时间里得到攒青豆的数量。

首先我们需要两个数组leftMax和rightMax分别保存左边和右边的最大柱子高度。记得一定要处理边界值：leftMax的最左边为$i = 0$的位置，rightMax的最右边也就是$i = n - 1$的位置。

其余位置的就可以通过我们的计算进行存储柱子的最高高度。

在得到我们需要的柱子高度后我们能够攒下青豆的数量值等于Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i]。这个代码的含义就是得到位置$i$两边的最大高度减去此处柱子的高度。依次循环相加就可以得到我们能够攒下的青豆量。

代码

/**
* 支持 import Java 标准库 (JDK 1.8)
*/
import java.util.*;

/**
* 解决攒青豆：使用动态规划
*/
public class Main {
   public static void main(String []args) {
      // Enter n values: Represents the height of each column
      int[] height = {5,0,2,1,4,0,1,0,3};

      // Save the final result
      int result = 0;
      result = sum(height);
      System.out.println(result);
   }

   public static int sum(int[] height) {

        // length is the record
        int len = height.length;

        // Boundary treatment
        if (len == 0) {
            return 0;
        }

        // save i left threshold
        int[] leftMax = new int[len];
        leftMax[0] = height[0];
        for (int i = 1; i < len; ++i) {
            leftMax[i] = Math.max(leftMax[i - 1], height[i]);
        }

        // save i right threshold
        int[] rightMax = new int[len];
        rightMax[len - 1] = height[len - 1];
        for (int i = len - 2; i >= 0; --i) {
            rightMax[i] = Math.max(rightMax[i + 1], height[i]);
        }
        // The green bean quantity is equal to the minimum value on the left and right sides - the current height
        int num = 0;
        for (int i = 0; i < len; ++i) {
            num += Math.min(leftMax[i], rightMax[i]) - height[i];
        }
        return num;
    }
}