当青训营遇上码上掘金-寻友之旅

题目

主题 3：寻友之旅

小青要找小码去玩，他们的家在一条直线上，当前小青在地点 N ，小码在地点 K （0≤N , K≤100 000），并且小码在自己家原地不动等待小青。小青有两种交通方式可选：步行和公交。
步行：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 X-1 或 X+1
公交：小青可以在一分钟内从任意节点 X 移动到节点 2×X （公交不可以向后走）

请帮助小青通知小码，小青最快到达时间是多久？
输入： 两个整数 N 和 K
输出： 小青到小码家所需的最短时间（以分钟为单位）

链接：juejin.cn/post/718775…

解法

BFS

将直线看作树，node的子节点分别是n-1, n+1, 2*n（如果存在）。从起始点N开始BFS，直到遇到目标点K。

由于每个点最多只经过一次，所以最终复杂度为O(n)。

动态规划

• 当n > K时，只能从后向前一步一步走，那么最短时间为n - K。
• 当n < K时，
  • 若n = K/2，只要1步。
  • 若n < K/2，选择公交。贪心原则，但是其实想不出严格的证明，假设存在<=(该步骤选择公交最佳步数）的方案，反证得n >= K/2 ?
  • 若n > K/2， 这里如果K正好在2*n和n的中点，那么坐公交正好比走路多1步。故而动态规划公式如下：
    • 当k > n/2 + n时，dp[k] = dp[k/2] + k%2 + 1.
    • 当k <= n/2 + n时，dp[k] = dp[k-1] + 1.

一点点改进

• 乘2可以用位运算（不过也许某些编译器会优化这点？）
• 考虑可以后退的情况（比如/2），那么动态规划会不太适合，因为前面的结果受到后面的影响，考虑起来比较复杂。

代码

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 1;

vector<int> dis(N, -1);//N到x点的路径长

int main(){
    int n, k;
    cin >> n >> k;
    queue<int> q;
    q.push(n); //从n开始走, BFS
    dis[n] = 0;
    while(!q.empty()){
        int cur_pos = q.front();
        if(cur_pos == k) break;
        q.pop();
        if((cur_pos << 1) < N && dis[cur_pos << 1] == -1){
            dis[cur_pos << 1] = dis[cur_pos] + 1;
            q.push(cur_pos << 1);
        }
        if(cur_pos + 1 < N && dis[cur_pos + 1] == -1){
            dis[cur_pos + 1] = dis[cur_pos] + 1;
            q.push(cur_pos + 1);
        }
        if(cur_pos - 1 >= 1 && dis[cur_pos - 1] == -1){
            dis[cur_pos - 1] = dis[cur_pos] + 1;
            q.push(cur_pos - 1);
        }
    }
    cout << dis[k] <<'\n';
    return 0;
}