背包DP两杂题（10-10）

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1.数字组合

给定 $N$ 个正整数 $A1,A2,…,AN$，从中选出若干个数，使它们的和为 $M$，求有多少种选择方案。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

第二行包含 $N$ 个整数，表示 $A1,A2,…,AN$。

输出格式

包含一个整数，表示可选方案数。

数据范围

$1≤N≤100$,
$1≤M≤10000$,
$1≤Ai≤1000$,
答案保证在 $int$ 范围内。

输入样例：

4 4
1 1 2 2

输出样例：

3

题目分析

这是一道01背包问题。

我们将数字总和 $M$ 看作背包容量，每个数 $Ai$ 看作物品体积。

初始化 $f[0]=1$，即总和为 $0$ 的方案数为 $1$。

Accept代码 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 110, M = 10010;
int a[N], f[M];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = m; j >= a[i]; j --)
            f[j] += f[j - a[i]];
        // for (int j = 0; j <= m; j ++) cout << f[j] << "\n "[j < m];
    cout << f[m];
    return 0;
}

2.货币系统

给你一个 $n$ 种面值的货币系统，求组成面值为 $m$ 的货币有多少种方案。

输入格式

第一行，包含两个整数 $n$ 和 $m$。

接下来 $n$ 行，每行包含一个整数，表示一种货币的面值。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示方案数。

数据范围

$n≤15,m≤3000$

输入样例：

3 10
1
2
5

输出样例：

10

题目分析

这是一道完全背包题目。

相较于上题，本题的区别为不再限制单个物品的数量，同样总体积一定。

可以想到用完全背包的方法解决问题，但是本题最终的答案会有一个爆 $int$ 的情况。

这里留个坑，具体我也不会推导

Accept代码 O(nm)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 15, M = 3010;
long long a[N], f[M];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = a[i]; j <= m; j ++)
            f[j] += f[j - a[i]];
    cout << f[m];
    return 0;
}

总结

01背包和完全背包的代码很像，但是两者推导方式大有不同，想要灵活的运用两种算法，建议多进行几次思考与推导，究其本源。