当青训营遇上码上掘金

当青训营遇上码上掘金-攒青豆的四种解法

题目描述

现有 n 个宽度为 1 的柱子，给出 n 个非负整数依次表示柱子的高度，排列后如下图所示，此时均匀从上空向下撒青豆，计算按此排列的柱子能接住多少青豆。（不考虑边角堆积）

输入：height = [5,0,2,1,4,0,1,0,3] 
输出：17

解法一：

暴力求解，时间复杂度$O(n^2)$,空间复杂度$O(1)$

解题思路： 统计除去首位外每个柱子上方所接的水的面积，对于每个柱子而言，其所接水的面积取决于左右两边的最大柱子高度中较小的一个。

算法描述：

1. 依次遍历数组height[1:len(height)-1]中的每个元素；
2. 当遍历到下标为i的元素时，执行步骤3、4、5；
3. 遍历height[:i]，找到i对应的最大左元素left_max；
4. 遍历height[i+1:]，找到i对应的最大右元素right_max；
5. 下标为i的柱子所接的水为max(min(left_max, right_max)-height[i], 0)；
6. 将全部结果求和得到最终输出；

解法二：

使用动态规划的思想优化解法一的时间复杂度，时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(n)$

解题思路： 通过一次遍历，将每个元素对应的左大元素和右最大元素记录在数组里。

算法描述：

1. 分别用left_max_ans和right_max_ans来记录左大元素和右最大元素；
2. 遍历数组height[1:]，更新left_max_ans[i] = max(left_max_ans[i-1],height[i-1]);
3. 遍历数组height[:len(height)-1]，更新right_max_ans[i] = max(right_max_ans[i+1],height[i+1]);
4. 遍历数组height[1:len(height)-1]，求每个柱子所承接的水的面积arce = max(min(left_max_ans[i], right_max_ans[i])-height[i], 0);
5. 求和；

解法三：

使用双指针进一步优化空间复杂度，此题最优解，时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(1)$

解题思路： 分别用一个变量来记录每个元素对应的左最大元素和右最大元素，用两个指针left和right指向height的两端，left_max和right_max分别表示左最大元素和右最大元素，当height[left-1]<height[right+1]的时候，左最大元素不可能比右最大元素大，因此较小的一方在左边，此时向左扫描left++，否则向右扫描right--。

算法描述：

1. 设置初值left, right, left_max, right_max := 1, len(height)-1, 0, 0
2. 如果左右指针没重合left<=right,向下执行，否则步骤6;
3. 如果height[left-1]<height[right+1]，执行步骤4,否则执行步骤5；
4. 更新left_max = max(left_max,height[left-1])计算left对应柱子的面积max(left_max-height[left], 0),移动左指针left++，转至步骤2;
5. 更新right_max = max(right_max,height[right+1])计算right对应柱子的面积max(right_max-height[right], 0),移动右指针right--，转至步骤2;
6. 求和；

解法四：

使用单调栈，时间复杂度$O(n)$,空间复杂度$O(n)$

解题思路： 用一个单调递减栈（栈内存储数组下标，下标对应的柱子高度单调递减）来记录i对应柱子左边柱子高度的排列情况，当i比栈顶元素对应的柱子高度低时直接入栈，否则出栈，计算出栈后栈顶元素对应的柱子到i承接的水的面积;

算法描述：

1. 初始化栈stack；
2. 遍历height[0:]；
3. 如果栈非空或栈顶元素对应的柱子高度小于height[i]，执行步骤4，否则执行步骤5；
4. 出栈，记录栈顶元素对应柱子的高度enum，计算出栈后的栈顶元素对应的柱子到i对应柱子之间所接的水的面积arce := (i-height[stack.top]-1)*；(min(height[stack.top], height[i])-enum),转至步骤3；
5. 将i入栈；

PS： 虽然嵌套了两层循环，单每个元素至多访问两遍（出栈、入栈），因此总的时间复杂度为O(n).

附代码

[jcode](https://code.juejin.cn/pen/7198485637895290917)