Interpolant

这个类主要是用来实现插值，常用于动画。

可以把这个类理解为是一个数学函数，给定一个自变量，要返回对应的函数值。只是，在我们定义函数的时候，是通过一些离散的点进行定义的。

举个例子，加入我们要定义 $y = x^2$ 这条曲线，我们需要定义两个数组（即采样点和采样的值）：x = [-2, -1, 0, 1, 2]，y = [4, 1 ,0, 1, 4]。通过这样的定义方式，我们怎么求不是采样点中的函数值？例如上面的吱吱，我们怎么求x = 0.5时的值？这就时我们要说的“插值”。

最常见也最简单的插值方式就是线性插值，还拿上面的例子讲，就是在“连点”画图象的时候，用直线把各点连起来。

我们现在要取x=0.5，通过 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$ 线性插值，即求出过这两点的直线 $y=x$ ，可以得到，y=0.5；同理，x=1.5时，通过 $(1, 1)$ 和 $(2,4)$ 的直线为 $y=3x-2$ ，可以得到，y=2.5。

我们使用three.js提供的线性插值验证一下：

import * as THREE from 'three'

const x = [-2, -1, 0, 1, 2]
const y = [4, 1, 0, 1, 4]

const resultBuffer = new Float32Array(1)
const interpolant = new THREE.LinearInterpolant(x, y, 1, resultBuffer)

interpolant.evaluate(0.5)
// 0.5
console.log(resultBuffer[0])

interpolant.evaluate(1.5)
// 2.5
console.log(resultBuffer[0])

看不懂这段代码没有关系，接下来会慢慢解释。

通过离散的采样点定义曲线

在Interpolant的构造器，需要以下这些参数：

parameterPositions：采样的位置，类比成函数就是自变量的取值
sampleValues：采样取的值，类比成函数就是自变量对应的函数值
sampleSize：每个采样点的值，分量的个数。例：sampleValues可以表示一个三维空间的坐标，有x, y, z三个分量，所以sampleSize就是三。
resultBuffer：用来获取插值的结果，长度为sampleSize时，刚好够用。

这几个参数一般有着如下的数量关系：

$parameterPositions.length \times sampleSize = sampleValues.length$

$sapleSize = resultBuffer.length$

通过上面这些参数，我们就可以大概表示一个函数的曲线，相当于在使用“描点法”画图象时，把一些离散地采样点标注在坐标系中。

有了这些离散的点，我们就可以通过插值，求出任意点的函数值。

插值的步骤

1. 寻找要插值的位置

还拿上面的例子来说，parameterPositions = [-2, -1, 0, 1, 2]，现在想要知道position = 1.5处的函数值，我们就需要在parameterPositions这个数组中找到position应该介于那两个元素之间。很显然，在这个例子中，值在元素1，2之间，下标在3,4之间。

2. 根据找到的左右两个点，进行插值

上面的例子中，我们找到的两个点分别是 $(1,1)$ 和 $(2,4)$ 。可以有多种插值的方式，这取决于你的需求，我们仍然拿线性插值举例，通过 $(1,1)$ 和 $(2,4)$ 可以确定一条直线，然后把 $1.5$ 带入即可。

Interpolant源码

Interpolant采用了一种设计模式：模板方法模式。

在插值的整个流程中，对于不同的插值方法来说，寻找插值位置这一操作是一样的，所以把这一个操作可以放在基类中实现。

对于不同的插值类型，都派生自Interpolant，然后实现具体的插值方法，这个方法的参数就是上面寻找到的位置。

1. 构造器

constructor(parameterPositions, sampleValues, sampleSize, resultBuffer) {

    this.parameterPositions = parameterPositions;
    this._cachedIndex = 0;

    this.resultBuffer = resultBuffer !== undefined ?
        resultBuffer : new sampleValues.constructor(sampleSize);
    this.sampleValues = sampleValues;
    this.valueSize = sampleSize;

    this.settings = null;
    this.DefaultSettings_ = {};
}

基本上就是把参数中的变量进行赋值，对于resultBuffer来说，如果不在参数中传递，那么就会在构造器中进行创建。

_cachedIndex放到后面解释。

2. copySampleValue_()

如果，我们要插值的点，刚好是采样点，就没必要进行计算了，直接把采样点的结果放到resultBuffer中即可，这个方法就是在做这件事，参数就是采样点的下标。

copySampleValue_(index) {

    // copies a sample value to the result buffer

    const result = this.resultBuffer,
        values = this.sampleValues,
        stride = this.valueSize,
        offset = index * stride;

    for (let i = 0; i !== stride; ++i) {

        result[i] = values[offset + i];

    }

    return result;

}

3. interpolate_( /* i1, t0, t, t1 */ )

interpolate_( /* i1, t0, t, t1 */ ) {

    throw new Error( 'call to abstract method' );
    // implementations shall return this.resultBuffer

}

这个就是具体的插值方法，但是在基类中并没有给出实现。

4. evaluate()

接下来就是多外暴露的接口，通过这个方法计算插值的结果。

这段代码用了一个不常用的语法，类似C语言中的goto语句，可以给代码块命名，然后通过break 代码块名跳出代码块。

这段代码就是实现了上面说的插值的过程：

寻找位置
插值（调用interpolate_()方法）

整个validate_interval代码块，其实就是在找插值的位置。它的流程是：

线性查找

根据上一次插值的位置，向数组尾部的方向查找两个位置。（这里就是构造器中_cachedIndex的作用，记录上一次插值的位置）。如果到了数组最后仍然没找到，则到数组头部去找；如果没有到数组尾部，则直接跳出线性查找，使用二分查找。

二分查找

为什么要先在上一次插值的左右位置进行线性查找呢？插值最常见的使用场景就是动画，每次会把一个时间传进来进行插值，而两次插值的间隔通常很短，分布在上一次插值的附近，可能是想通过线性查找优化性能。

evaluate(t) {

    const pp = this.parameterPositions;
    let i1 = this._cachedIndex,
        t1 = pp[i1],
        t0 = pp[i1 - 1];

    validate_interval: {
        seek: {

            let right;

            // 先进性线性查找
            linear_scan: {

                //- See http://jsperf.com/comparison-to-undefined/3
                //- slower code:
                //-
                //-                 if ( t >= t1 || t1 === undefined ) {
                forward_scan: if (!(t < t1)) {

                    // 只向后查找两次
                    for (let giveUpAt = i1 + 2; ;) {

                        // t1 === undefined，说明已经到了数组的末尾
                        if (t1 === undefined) {

                            // t0是最后一个位置
                            // 如果t < t0
                            // 则说明向数组末尾找，没有找到
                            // 因此跳出这次寻找 接着用其他方法找
                            if (t < t0) break forward_scan;

                            // after end

                            // t >= t0
                            // 查找的结果就是最后一个点 不需要进行插值
                            i1 = pp.length;
                            this._cachedIndex = i1;
                            return this.copySampleValue_(i1 - 1);

                        }

                        // 控制向尾部查找的次数 仅查找两次
                        if (i1 === giveUpAt) break; // this loop

                        // 迭代自增
                        t0 = t1;
                        t1 = pp[++i1];

                        // t >= t0 && t < t1
                        // 找到了，t介于t0和t1之间
                        // 跳出寻找的代码块
                        if (t < t1) {

                            // we have arrived at the sought interval
                            break seek;

                        }

                    }

                    // prepare binary search on the right side of the index
                    right = pp.length;
                    break linear_scan;

                }

                //- slower code:
                //-                    if ( t < t0 || t0 === undefined ) {
                if (!(t >= t0)) {

                    // looping?

                    // 上一次查找到数组末尾了
                    // 查找数组前两个元素
                    const t1global = pp[1];
                    if (t < t1global) {

                        i1 = 2; // + 1, using the scan for the details
                        t0 = t1global;

                    }

                    // linear reverse scan

                    // 如果上一次查找到数组末尾
                    // i1就被设置成了2，查找数组前2个元素
                    for (let giveUpAt = i1 - 2; ;) {

                        // 找到头了
                        // 插值的结果就是第一个采样点的结果
                        if (t0 === undefined) {

                            // before start

                            this._cachedIndex = 0;
                            return this.copySampleValue_(0);

                        }

                        if (i1 === giveUpAt) break; // this loop

                        t1 = t0;
                        t0 = pp[--i1 - 1];

                        if (t >= t0) {

                            // we have arrived at the sought interval
                            break seek;

                        }

                    }

                    // prepare binary search on the left side of the index
                    right = i1;
                    i1 = 0;
                    break linear_scan;

                }

                // the interval is valid

                break validate_interval;

            } // linear scan

            // binary search

            while (i1 < right) {

                const mid = (i1 + right) >>> 1;

                if (t < pp[mid]) {

                    right = mid;

                } else {

                    i1 = mid + 1;

                }

            }

            t1 = pp[i1];
            t0 = pp[i1 - 1];

            // check boundary cases, again

            if (t0 === undefined) {

                this._cachedIndex = 0;
                return this.copySampleValue_(0);

            }

            if (t1 === undefined) {

                i1 = pp.length;
                this._cachedIndex = i1;
                return this.copySampleValue_(i1 - 1);

            }

        } // seek

        this._cachedIndex = i1;

        this.intervalChanged_(i1, t0, t1);

    } // validate_interval


    // 调用插值方法
    return this.interpolate_(i1, t0, t, t1);

}

上面的代码看着非常多，其实大量的代码都是在找位置。找到位置之后，调用子类实现的抽象方法。

5. LinearInterpolant实现interpolate_( /* i1, t0, t, t1 */ )方法

class LinearInterpolant extends Interpolant {

    constructor(parameterPositions, sampleValues, sampleSize, resultBuffer) {

        super(parameterPositions, sampleValues, sampleSize, resultBuffer);

    }

    interpolate_(i1, t0, t, t1) {

        const result = this.resultBuffer,
            values = this.sampleValues,
            stride = this.valueSize,

            offset1 = i1 * stride,
            offset0 = offset1 - stride,

            weight1 = (t - t0) / (t1 - t0),
            weight0 = 1 - weight1;

        for (let i = 0; i !== stride; ++i) {

            result[i] =
                values[offset0 + i] * weight0 +
                values[offset1 + i] * weight1;

        }

        return result;

    }

}

线性插值的推导过程，只需要中学的只是即可。通过两个点 $(t_0, val_0)，(t_1, val_1)$ 确定直线：

$\frac{val_1-val_0}{t_1-t_0}=\frac{Y-val_0}{X-t_0}$

将 $Y$ 用 $X$ 表示：

$Y=\frac{val_1-val_0}{t_1-t_0}(X-t_0) + val_0$

令：

$weight_1 = \frac{X-t_0}{t_1-t_0}$

$Y=weight_1\times(val_1-val_0)+val_0$

即：

$Y=weight_1\times val_1 + (1-weight_1)\times val_0$

令：

$weight_0=1-weight_1$

则：

$Y=weight_1\times val_1 + weight_0\times val_0$

总结

Three.js提供了内置的插值类Interpolant，采用了模板方法的设计模式。对于不同的插值方式，继承基类Interpolant，然后实现抽象方法interpolate_。

计算插值的步骤就是先找到插值的位置，然后把插值位置两边的采样点传递给interpolate_()方法，不同的插值方式会override该方法，以产生不同的结果。

推导了线性插值的公式。

Three.js Interpolant