Acwing272. 最长公共上升子序列（8-8）

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272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 $A$ 和 $B$，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 $A$ 和 $B$ 的长度均不超过 30003000。

输入格式

第一行包含一个整数 $N$，表示数列 $A,B$ 的长度。

第二行包含 $N$ 个整数，表示数列 $A$。

第三行包含 $N$ 个整数，表示数列 $B$。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

$1≤N≤3000$,序列中的数字均不超过 $2^{31}-1$。

input

4
2 2 1 3
2 1 2 3

output

2

题目分析

这是一道综合最长公共子序列和最长上升子序列的题目。

我们将两种解法合起来考虑，定义 $f[i][j]$ 表示序列 $A$ 的前 $i$ 个数和以 $b[j]$ 为结尾的 序列 $B$ 的前 $j$ 的数中所有最长公共上升子序列中的最长长度。

定义此序列为 $S$，以 $a[i]$ 是否为 $S$ 的最后一个字符作两种情况考虑。

若 $a[i]$ 不在 $S$ 中，$f[i][j] = f[i-1][j]$。

若 $a[i]$ 在 $S$ 中，则我们枚举 $S$ 的倒数第二个元素在 $B$ 中所处位置，范围由无到 $k(1 \le k \le j-1)$。枚举所有情况得到最优解便为 $O(n^3)$ 解法。

通过观察可以发现，第三层循环即是求 $f[i][k](1 \le k \le j-1)$ 的最大值，我们可以用一个变量表示，复杂度优化到 $O(n^2)$。

Accept代码 DP O(n^2)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 3010;
int a[N], b[N], f[N][N];

int main()
{
    int n; cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        int maxv = 1;       // 算上最后末尾数相等的这个1
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv);
            if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i][j] + 1);     // 前缀最大值
        }
    }
    cout << *max_element(f[n] + 1, f[n] + n + 1);
    return 0;
}