P2758 编辑距离（7-7）

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P2758 编辑距离 - 洛谷

题目描述

设 $A$ 和 $B$ 是两个字符串。我们要用最少的字符操作次数，将字符串 $A$ 转换为字符串 $B$。这里所说的字符操作共有三种：

1. 删除一个字符；
2. 插入一个字符；
3. 将一个字符改为另一个字符。

$A, B$ 均只包含小写字母。

输入格式

第一行为字符串 $A$；第二行为字符串 $B$；字符串 $A, B$ 的长度均小于 $2000$。

输出格式

只有一个正整数，为最少字符操作次数。

input

sfdqxbw
gfdgw

output

4

提示

对于 $100 \%$ 的数据，$1 \le |A|, |B| \le 2000$。

题目分析

本题为线性DP，首先我们定义数组 $f[i][j]$ 表示使长度为 $n$ 的字符串 $A$ 的前 $i$ 个字符和长度为 $m$ 的字符串 $B$ 的前 $j$ 个字符完全匹配的最少操作步骤。

现在我们来模拟三种操作所对应的做法。

$1.$ 删除 $A$ 中末尾字符

假设此时 $A$ 的前 $i$ 个字符与 $B$ 的前 $j-1$ 个字符已经匹配，则执行当前步骤后的操作数应为 $f[i][j] = f[i][j-1] + 1$。

$2.$ 向 $A$ 末尾增加一个字符

假设此时 $A$ 的前 $i-1$ 个字符与 $B$ 的前 $j$ 个字符已经匹配，则执行当前步骤后的操作数应为 $f[i][j] = f[i-1][j] + 1$。

$3.$ 将 $A$ 的末尾字符改为 $B$ 的末尾字符。

假设此时 $A$ 的前 $i-1$ 个字符与 $B$ 的前 $j-1$ 个字符已经匹配。此时需要考虑两种情况。

若 $a[i]=b[j]$，则 $f[i][j] = f[i-1][j-1]$。

若 $a[i]!=b[j]$ 则 $f[i][j] = f[i-1][j-1]+1$。

我们枚举以上三种情况，取三种情况的最少操作数作为 $f[i][j]$ 的值，再进行之后操作。

最终答案为 $f[n][m]$。

Accept代码(DP)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 2010;
int f[N][N];

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    a = ' ' + a, b = ' ' + b;
    int n = a.size(), m = b.size();
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++) f[i][0] = i;
    for (int i = 1; i <= m; i ++) f[0][i] = i;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= m; j ++)
        {
            f[i][j] = min(f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1);
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1]);
            else f[i][j] = min(f[i][j], f[i - 1][j - 1] + 1);
        }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}