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背景

年后，笔者恢复了刷力扣题的节奏，每周会刷 2~4 道题。在这个过程中，笔者对时间复杂度 O(logN) 的算法流程总是不大理解，于是专门去查阅了一些资料(尤其是左程云老师的算法课程，对笔者帮助很大)，沉淀了知识，最终对 O(logN) 的计算有了深入的认识，现分享出来，希望对掘友们有所帮助🍺

为了解释清楚 O(logN) 时间复杂度的计算过程，笔者以 二分法 为例展开说明。

二分法

二分法是一个经典的算法，考虑这么一个查找问题：

给你一个升序的数组 nums，里面都是数字，再给你一个数字 target，请在 nums 里检查 target 是否存在，如果存在则返回 target 的下标，如果不存在则返回 -1。

暴力解决

这道题如果暴力解决的话，就是将 nums 从左到右遍历一遍，每走一步就比较当前数字和 target 是否相等，如果相等就返回 true，如果不相等就继续走(重复比较策略)..。如果走到末尾还没有相等的情况出现，说明 target 不在 nums 里，返回 false。

假设数据规模是 N。

对于这样的算法流程，考虑最坏情况，target 是数组的最后一个元素，那么就需要遍历 N 个元素才有结果，时间复杂度是 O(N)。

「有序」的利用

仔细研究此查找问题会注意到，升序这个条件在暴力解法里没有用到，这个条件是很关键的，有了它才能执行今天的主角 ---- 二分法。

二分法解决此查找问题的流程是这样的：

准备两个指针 L,R，分别指向数组开头和末尾。
计算 L,R 的中间坐标 M，规则是向下取整。
比较 nums[M] 和 target, 有 3 种情况：
- nums[M] === target，返回 M 即可。
- nums[M] < target，由于数组升序，M 前面的元素只会更比target小，所以直接让 L 前进到 M+1 位置。
- nums[M] > target，由于数组升序，M 后面的元素只会更比target大，所以直接让 R 后退到 M-1 位置。
重复 步骤2,3，直到 返回M 或者 L和R错过去(L>R)。

计算复杂度

以数组长度 16 为例，执行前文所述二分查找的流程，假设最坏情况：

  砍半次数  剩余待查找数据
     0       16            砍一半，再对比 nums[M] 和 target, 此过程时间复杂度 O(1)
     1        8            砍一半，再对比, O(1)
     2        4            砍一半，再对比, O(1)
     3        2            砍一半，再对比, O(1)
     4        1            对比, O(1)

每次都是对半砍，总共砍了 4 次，每次砍都只是来一次 O(1) 的对比，所以这个流程的时间复杂度取决于砍半的次数。

计算砍半的次数也就是从 16 开始，要砍多少次才能到达1？

我们可以反过来想：从 1 开始，要乘以多少个2，才能到达 16 ？

要乘以多少个2，这个2的个数，就是右边这一列中2的指数。

求2的指数的数学公式是：以 2 为底，结果的对数，把结果(数据规模)从 16 上升到 N，公式就是：

而在算法中，以 2 为底, N 的对数简写为 logN，写成时间复杂度，那就是 O(logN)。

总结

本文以二分法入手，介绍了时间复杂度 O(logN) 的计算方法，二分查找在力扣上也有详细的讨论，地址是力扣704.二分查找，掘友们有兴趣可以去查阅更多内容。

最后，附上笔者实现的二分查找的代码，希望大家多多指教：

function search(nums, target) {
    let L = 0;
    let R = nums.length - 1;
    
    // L,R 相等时也要进来，因为 L/R 上一轮刚刚移动过，这一轮是在「还没检查的位置」。
    while (L <= R) {
        // 1. 不用 (L+R)/2, 是因为 L+R 可能会溢出。
        // 2. 用 >> 1 即能「加快速度」，又实现了「向下取整」。
        const M = L + ((R - L) >> 1);

        if (nums[M] === target) {
            return M;
        }
        else if (nums[M] < target) {
            // M 位置的数一定比 target 小了，所以 L 直接前进到 M+1
            L = M + 1;
        }
        else {
            // M 位置的数一定比 target 大了，所以 R 直接后退到 M-1
            R = M - 1;
        }
    }
    
    // 二分查找完了也没找到
    return -1;
};

用「二分法」详解时间复杂度 O(logN)

背景

二分法

暴力解决

「有序」的利用

计算复杂度

总结