Acwing第89场周赛——加减乘(4-4)

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4805. 加减乘(免费报名周赛后可查看)

题目描述

规定两种数字操作：

• 加减操作，将数字加 $1$ 或减 $1$，代价为 $x$。
• 乘法操作，将数字乘 $2$，代价为 $y$。

每种操作的使用次数不限。

请你计算，通过上述操作，将 $0$ 变为 $n$，所需花费的最小代价。

输入共一行，包含三个整数 $n,x,y$。

输出一个整数，表示最小代价。

前 55 个测试点满足 $1\le n \le 100$。
所有测试点满足 $1\le n \le 10^7$，$1\le x,y \le 10^9$。

input1

8 1 1

output1

4

input2

8 1 10

output2

8

题目分析

这是一道 DP 的题目。

定义数组 $f[i]$ 表示从 $0$ 到 $i$ 的最小花费。

可以证明一种最优解方式为以下情况。

如果 $i$ 是偶数，则 $f[i]$ 可以从 $f[i-1]$ 和 $f[i/2]$ 中较小值转移而来，可以证明不会从比 $i$ 大的数 $j$ 转移而来，代价分别为 $x$，$y$。

如果 $i$ 是奇数，则 $f[i]$ 可以从 $f[i-1]$ 和 $f[i+1]$ 中较小值转移而来，$f[i+1]$ 则从 $f[(i+1)/2]$ 转移而来，代价分别为 $x$，$x+y$。

注意 $x,y$ 可以取到 $1e9$，$f[i]$ 会有爆 $\text{int}$ 的可能，且需要计算题目所给的空间是否满足。

时间复杂度为 $O(n)$。

Accpet代码(DP)

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
using ll = long long;

const int N = 1e7 + 10;
ll f[N];

int main()
{
    int n, x, y;
    cin >> n >> x >> y;
    
    memset(f, 0x3f, sizeof f);      // 0x3f3f3f为当前类型的足够大（非最大）的常量
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        if (i % 2)
            f[i] = min(f[i - 1] + x, f[(i + 1) / 2] + y + x);
        else
            f[i] = min(f[i - 1] + x, f[i / 2] + y);
    }
    cout << f[n];
    return 0;
}

另一种牺牲空间时间代码较简洁的方法
本题 f[1] 的答案是显然的，以此为基本可以由两种方式的最小值求得 f[2]，依次递归，最终求得答案，可以证明其的不漏性。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long

using namespace std;

const int N = 2e7 + 10;

int n, x, y, f[N];

signed main()
{
    cin >> n >> x >> y;
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        f[i] = min(f[i], f[i - 1] + x);
        f[i] = min(f[i], f[i + 1] + x);
        f[i * 2] = f[i] + y;
    }

    cout << f[n];
    return 0;
}