动态规划---背包问题

大嘴鱼_
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活动 - AcWing

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01背包

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。 第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。 输出最大价值。

方法一：二维数组，动态规划

  • f[i][j]: 表示前i个物品在背包容量为j的最大价值
  • f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-1][j]);
    • 第一种情况，包含第i个物品，那么f[i][j]的价值 = f[i-1][j-v[i]] + w[i];
    • 二，不要第i件物品，f[i][j] = f[i-1][j]
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N];
int v[N], w[N];
// f[i][j]:前i个物品，在体积为j的背包下的最大价值
// f[i][j] = max(f[i][j-v[i]]+w[i], f[i-1][j]);
// 初始化：f[i][j] = 0;

int main() {
  int n, m;
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    cin >> v[i] >> w[i];
  }

  for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= m; j++) {
      f[i][j] = f[i - 1][j];
      if (j >= v[i]) f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i]] + w[i], f[i][j]);
    }
  }

  cout << f[n][m] << endl;
  return 0;
}

方法二：滚动数组，降低空间复杂度

  • 由于f[i][j] = max(f[i - 1][j - v[i]] + w[i], f[i-1][j]);, 第i层的数据由i-1推出，可以简化为f[j] = max(f[j-v[i]] + w[i], f[j])
  • 注意点： for (int j = m; j >= 1; j -- ) j要倒序，倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次！ 但如果一旦正序遍历了，那么物品0就会被重复加入多次！

举一个例子：物品0的重量weight[0] = 1，价值value[0] = 15。 如果正序遍历

dp[1] = dp[1 - weight[0]] + value[0] = 15

dp[2] = dp[2 - weight[0]] + value[0] = 30

此时dp[2]就已经是30了，意味着物品0，被放入了两次，所以不能正序遍历。

  for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for (int j = m; j >= 1; j -- ){
           if(j >= v[i])
           f[j] = max(f[j], f[j-v[i]]+w[i]);
        }

    }

完全背包问题

有 N 种物品和一个容量是 V 的背包，每种物品都有无限件可用。 第 i种物品的体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

  • f[i][j]表示前i种物品，在背包容量为j的情况下最大价值
  • f[i][j] = f[i][j]=max(f[i][j-v[i]]+w[i] , f[i][j]);
  • 初始化 f[i][j] = 0
 for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            for(int k = 0; k*v[i] <= j; k++){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]]+ w[i]*k);
            }
        }
    }

f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w , f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)

f[i , j-v]= max( , f[i-1,j-v] , f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j->3*v]+2*w , .....)

由上两式，可得出如下递推关系： f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N], v[N], w[N];
//f[i][j]:表示前i种物品，在背包容量为j的情况下最大价值
//

/*
f[i , j ] = max( f[i-1,j] , f[i-1,j-v]+w ,  f[i-1,j-2*v]+2*w , f[i-1,j-3*v]+3*w , .....)
f[i , j-v]= max(            f[i-1,j-v]   ,  f[i-1,j-2*v] + w , f[i-1,j-3*v]+2*w , .....)
由上两式，可得出如下递推关系： 
                        f[i][j]=max(f[i,j-v]+w , f[i-1][j]) 
                        
                        */
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        cin >> v[i] >> w[i];
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            /*for(int k = 0; k*v[i] <= j; k++){
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]]+ w[i]*k);
            }*/
            f[i][j] = f[i-1][j];
            
            if(j >= v[i])
             f[i][j]=max(f[i][j-v[i]]+w[i] , f[i][j]);
        }
    }
    cout << f[n][m];
    
    return 0;
}

多重背包问题 I

有 N种物品和一个容量是 V的背包。 第 i种物品最多有 si件，每件体积是 vi，价值是 wi。 求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。输出最大价值。

  • 与完全背包类似
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

const int N = 1e3 + 10;
int f[N][N], v[N], w[N],s[N];
//f[i][j] 表示前i种物品，在容量为j的最大价值
//f[i][j] = f[i][j]
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
        cin >> v[i] >> w[i] >> s[i];
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 1;  j<= m; j++){
            for(int k = 0; k <= s[i]; k++){
                //f[i][j] = f[i-1][j];
                if(j >= k*v[i])
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i-1][j-k*v[i]]+w[i]*k);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}

分组背包问题

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。

每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。
每件物品的体积是 vij，价值是 wij，其中 i 是组号，j 是组内编号。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出最大价值。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 1e2 + 10;

int f[N][N],v[N][N],w[N][N],s[N];

//f[i][j] 表示前i组物品，在背包容量为v的情况下的最大价值

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
       cin >> s[i];
       for (int j = 1; j <= s[i]; j ++ ){
           cin >> v[i][j] >> w[i][j];
       }
    }
    
    for(int i = 1;  i <= n; i++){
        for (int j = 1; j <= m; j ++ ){
            f[i][j] = f[i-1][j];
            for(int k = 1; k <= s[i]; k++){
                
                if(j >= v[i][k])
                f[i][j] = max(f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k], f[i][j]);
            }
        }
    }
    cout << f[n][m];
    return 0;
}
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