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0. 引子

在面试中，经常会遇到一些算法相关的问题，比如：求100以内的所有质数。

今天我们由这个问题入手，探讨一下算法的用处。

1、概念

质数（prime number）又称素数，有无限个。质数定义为：在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。

2、算法设计

假设要判断的数值为n，只需对除数进行遍历，从2到n-1即可。

比如我们要求得100以内的所有质数。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class TestPrime {
	public static void main(String[] args) {
		//存储质数
		List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
		int n = 100;
		//循环次数
		int count = 0;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			//质数标识
			boolean isPrime = true;
			for(int j=2;j<=i-1;j++){
				count++;
				if(i%j==0){
					isPrime = false;
				}
			}
			
			if(isPrime){
				primeList.add(i);
			}
		}
		//打印质数
		System.out.println(primeList.toString());
		//打印循环次数
		System.out.println(count);
	}
}

输出结果为：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

4851

总共循环了4851次。

考虑如下三个问题：

算法是否正确？
算法复杂度如何？
算法能否改进？

2.1 算法是否正确？

从打印出来结果来看，全是质数，算法结果没有问题。

2.2 算法复杂度如何？

for(int i=2;i<=n;i++){   ============》时间复杂度为 n
            //质数标识
            boolean isPrime = true;
            for(int j=2;j<=i-1;j++){        ============》时间复杂度近似为 n
                count++;
                if(i%j==0){
                    isPrime = false;
            }
 }

整体复杂度为 n^2

2.3 算法能否改进？

能，在判断非质数条件成立时，我们可以使用 break 语句终止当前循环。

3、算法优化一

当前数值为非质数时，即结束当前层的for循环，提高执行效率。

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class TestPrime {
	public static void main(String[] args) {
		//存储质数
		List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
		int n = 100;
		//循环次数
		int count = 0;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			//质数标识
			boolean isPrime = true;
			for(int j=2;j<=i-1;j++){
				count++;
				if(i%j==0){
					isPrime = false;
					break;
				}
			}
			
			if(isPrime){
				primeList.add(i);
			}
		}
		//打印质数
		System.out.println(primeList.toString());
		//打印循环次数
		System.out.println(count);
	}
}

输出结果如下：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

1133

总共循环了1133次，是上一次结果的四分之一，虽然效率有所提升，但效果并不明显，没有实现量级跃升。

还能再继续优化吗？

4、算法优化二

之前的计算中，除数是循环到了n-1，其实并没有必要，因为当除数达到 n/2 时，就已经到了整除n的极限了，当除数超过 n/2 + 1 时，无论如何也不能将n整除了。

优化后如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class TestPrime {
	public static void main(String[] args) {
		//存储质数
		List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
		int n = 100;
		//循环次数
		int count = 0;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			//质数标识
			boolean isPrime = true;
			for(int j=2;j<=i/2;j++){
				count++;
				if(i%j==0){
					isPrime = false;
					break;
				}
			}
			
			if(isPrime){
				primeList.add(i);
			}
		}
		//打印质数
		System.out.println(primeList.toString());
		//打印循环次数
		System.out.println(count);
	}
}

运行结果如下：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

616

总共循环了616次，这次可以发现，执行次数较之前大幅提升了一个数量级。

还能再优化吗？

5、算法优化三

沿着4中的思路，继续分析，当除数达到 n/2 时，其实已经在除数为2时得到了验证，故这里已经出现了重复。

该问题的计算思路，可以转换为：计算数值n下的所有约数中，除了1和自身外，是否还存在其它数值，如果没有，就是质数。当 x^2 = n 即为约数集中最中间的数值，其它约数都分布在x的两边。

比如9的约数为3，我们只要循环到3即可判断该数值是否能被除1和它本身外其它的数来整除。

算法优化如下：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
 
public class TestPrime {
	public static void main(String[] args) {
		//存储质数
		List<Integer> primeList = new ArrayList<>();
		int n = 100;
		//循环次数
		int count = 0;
		for(int i=2;i<=n;i++){
			//质数标识
			boolean isPrime = true;
			for(int j=2;j<=Math.sqrt(i+1);j++){
				count++;
				if(i%j==0){
					isPrime = false;
					break;
				}
			}
			
			if(isPrime){
				primeList.add(i);
			}
		}
		//打印质数
		System.out.println(primeList.toString());
		//打印循环次数
		System.out.println(count);
	}
}

输出如下：

[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]

237

总共循环了237次。

大家再看看，对于该算法，还有什么可以优化的空间么？

【算法精进】求得一定数值范围内的所有质数