幅度调制AM

幅度调制是指把要传输信号的振幅直接转移到载波上。

设$x(t)$为传输信号，$c(t)$是载波信号，那调制信号就是$y(t)=x(t)c(t)$，从频域上看就是$Y(j\omega)=\frac{1}{2\pi}X(j\omega)* C(j\omega)$

复指数调制

载波信号取$e^{j\omega_c t}$, $C(j\omega)=2\pi \delta(\omega-\omega_c)$，所以经过卷积之后$Y(j\omega)=X(j(\omega-\omega_c))$，相当于把原始信号整体频率向右移动到载波频率上，如果需要恢复信号，只需要引入逆变换$y(t)e^{-j\omega_c t}$。

对应到物理实现，其实不存在虚数信号，但是实部和虚部刚好是相位差$\pi/2$的三角函数。

正弦调制

载波信号取$\cos(\omega_c t)$，$C(j\omega)=\pi(\delta(\omega-\omega_c) + \delta(\omega + \omega_c))$，那么$Y(j\omega)=\frac{1}{2}(X(j(\omega-\omega_c))+X(j(\omega+\omega_c)))$

这在频谱上相当于分成两部分，在$\omega_c$和$-\omega_c$之间，如果输入信号的频域带限为$\omega_M$，那么$\omega_c > \omega_M$的时候才能保证不会混叠

一般来说正弦调制更加方便。

解调

如何恢复？这里面有两种方法同步解调和非同步解调。

同步解调

• 解调的相位和调制一样：$w(t)=y(t)\cos \omega_c t=x(t)\cos^2(\omega_c t)=\frac{1}{2}x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos(2\omega_c t)$，从频域上看，相当于在0、$2\omega_c$和$-2\omega_c$三个位置有原始信号的频谱，因此只需要一个增益为2，截止频率为在$\omega_M$和$2\omega_c - \omega_M$之间的低通滤波器即可。

• 解调的相位和调制不一样。$y(t)=x(t)\cos(\omega_c t+\theta_c)$，解调时$w(t)=y(t)\cos(\omega_c t + \phi_c)=\frac{1}{2}\cos(\theta_c-\phi_c)x(t)+\frac{1}{2}x(t)\cos(2\omega_c t + \theta_c + \phi_c)$，所以低通滤波得到信号多了一个振幅因子$\cos(\theta_c-\phi_c)$，为了获得最大的振幅（信号强度），解调时一般是同相。

这种同步性在实际操作是有难度的。所以实际会使用非同步解调，其原理是使用更为高频的载波，并且输入信号为正值，这样相乘以后，整体看起来会剧烈震荡，然后包络线可以看作传输信号的近似。这里面的两个要求载波频率远大于传输信号比较容易满足，而输入信号为正值可以让原始信号增加一个常数来解决。

频率调制FM

正弦频率调制，考虑载波信号$c(t)=A\cos(\omega_c t + \theta_c)$，现在利用$x(t)$去调整载波信号的相位的变化率，即令$\frac{d\theta(t)}{dt}=\omega_c + \theta_c + k_f x(t)$，这样$y(t)=A\cos(\omega_c t + \int x(t) dt)$，