从幅值和相位审视$H(j\omega), H(e^{j\omega})$

把握一个LTI系统的关键是他的单位冲激响应$h(t)$，而单位冲激响应的傅立叶变换$H(j\omega)$又把复杂的卷积运算转化成频域上的乘积运算，因此，重点来看$H(j\omega)$。因为一般情况下都是一个复数，我们通常表示为$|H(j\omega)|e^{\angle{H(j\omega)}}$。

又因为对于一个LTI系统，他的输出、输入和单位冲激在频域上有如下关系$Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)$，那么结合上面的极坐标表示，可以看到系统的作用其实是把不同频率的基信号($e^{j\omega t}$)幅度伸缩（称为增益），并且调整相位，使他们的叠加方式发生改变。

考虑一种最简单的$H(j\omega)=e^{-j\omega t_0}$，这个变换的增益为1（这种所有频率幅度都只具有单位增益的系统称为全通系统），并没有改变信号的幅度，只是改变了叠加方式，而这个叠加是最简单的一种，他就是时移变换，因此我们可以确定，如果相位变换是一个线性的，那么他就是时移变换，并且斜率的相反数为时移的大小。

如果是非线性的，那彼此叠加就变得很复杂了。但是对于连续情况，可以采取微分近似，认为$\omega$附近的小区间上，使用一个线性函数近似$H(j\omega)=-\phi-\alpha \omega$，这样$Y(j\omega)=X(j\omega)|H(j\omega)|e^{-j\phi}e^{-\omega\alpha}$, 因此相当于在H模的基础上又乘了复数因子，并且产生了一个$\alpha$的时延，这被称为群时延$\tau(\omega_0)=-\frac{d\angle{H(j\omega)}}{d\omega}|_{\omega=\omega_0}$，即一群信号在$\omega_0$这个窄频带上时延。

因此我们看到了把$H(j\omega)$从相位和模长视角来看的图像，如果横轴取$\log_{10} \omega$,纵轴取$20\log_{10}|H(j\omega)|$和$\angle{H(j\omega)}$，那么两张图就被称为波特图。在设计和分析滤波器的时候，通常是利用波特图来评价滤波器的。

一阶和二阶常微分连续系统的分析

第4章已经分析过，对于常微分系统，$H$可以很容易计算：$H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^N b_k (j\omega)^k}{a_k (j\omega)^k}$

对于一阶系统来说，$\tau \frac{dy(t)}{dx} + y(t) = x(t)$，他的$H(j\omega)=\frac{1}{1+j\omega \tau}$，因此波特图为

可以看到可以利用这类系统构造频域上直线的近似系统。

对于二阶系统$\frac{d^2y(t)}{dt^2}+2\xi\omega_n\frac{dy(t)}{dt}+\omega^2_ny(t)=\omega^2_nx(t)$。

可以求出$H(j\omega)=\frac{\omega^2_n}{(j\omega-c_1)(j\omega-c_2)}, c_1=-xi\omega_n + \omega_n\sqrt{\xi^2-1}, c_2=-xi\omega_n - \omega_n\sqrt{\xi^2-1}$，其波特图图下

可以看到不同参数下，振荡频率的变化。 同样在转移到时域，看看单位冲激和单位阶跃的响应

推广到有理式的情况，任何$H$最后都可以变成一阶和二阶的乘除，又因为

所以，很容易画出有理型的波特图

一阶和二阶常微分离散系统的分析

基本类似，主要是有理变换技巧