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正文

本文之前一直纠结的问题是 Unity 里面的 正交矩阵 和 透视矩阵 中的 z 到底是映射到 [-1,1] 还是 [0,1] 区间。

经过验证之后，得出结论： Unity 里的正交和透视矩阵是将 z 映射到 [-1,1] 区间。

经过查询，知道了，OpenGL 把 z 映射到 [-1,1] 之间；而 DX 则将 z 映射到 [0,1] 区间。可以查看：

有上面也知道了，DX 是 左手坐标系，而 OpenGL 是 右手坐标系，而 Unity 呢？我们会发现它使用的是 左手坐标系。

左手坐标系、右手坐标系，下图可以直观的给出：

ok，了解了这么多，我们还要看下 OpenGL 的正交透视投影，以及透视投影的矩阵公式，推导这里就不要再叙述了，网上很多，我之前的博客也都写过，这里给出几个参考网址：

这里还有一个 不明白的地方 就是在推导的时候，使用 -N 和 -F 。还有一个 地方不明 的是，Unity 里面的 摄像机的正方向，指向的是世界坐标系的 -z 轴。仿佛所有摄像机能看到的物体，都是在摄像机的后面。

有图说明

上图，Camera 的位置是 (0,0,0)，其旋转为 (0,0,0)，那么打印其 worldToCameraMatrix，也就是 世界坐标 转换为 视口坐标 的矩阵。

Debug.Log(Camera.main.worldToCameraMatrix);

输出

我们知道，凡是坐标系的矩阵的前三维代表的是 xyz 轴向量。也就是摄像机的视口坐标系的三个轴是：

(1,0,0)
(0,1,0)
(0,0,-1)

由此知道，其 z 方向，和世界坐标系居然是相反的。

ok，这个只要知道就可以了，对我们的要验证的问题没有关系。

接着我们回到正交矩阵的验证问题上来

验证正交投影矩阵

首先，把 z 坐标映射到 -1 到 1 的正交投影矩阵公式如下：

我们来验证下：

这里的摄像机其 近平面 设置为 1，远平面 设置为 4，也就是 n=1，f=4

此时看下输出：

Debug.Log(Camera.main.projectionMatrix);

可以看到矩阵对 第三行 是验证正确。再来看下矩阵的 第一行 和 第二行。当我们把另 r=-l ，以及 t=-b 的时候，矩阵变为：

也就是：

1/r = 0.16667
1/t = 0.3333

此时 r = 6，t = 3 这个是反推出 r 和 t 的。 ok，验证成立。

那么反思下，这个 r 和 t 的代表了什么，我们知道 width=r-l=2r=12；而 height=t-b=2t=6 那么此时宽高比是 12:6=2:1 , 那么此时我们的屏幕尺寸是多少呢？

 Debug.Log(Screen.width + "  " + Screen.height);
 Debug.LogError(Screen.height * 1.0f / Screen.width);
 Debug.LogError(Screen.width * 1.0f / Screen.height);

是的，我们屏幕的宽高比正好是 2:1。你可以选择，其他的分别测试：

如屏幕是 600x800，那么此时的比例是 3:4=0.75，而 0.3333/0.4444=0.75 。验证是正确的。

我们再反思，我们的摄像机是正交的，那么屏幕的的比例，就是摄像机的宽高比。

下面要讲解的是如何将一个点映射到 ndc 空间了

我们知道了给出了正交投影矩阵了，任何一个摄像机空间内的点p(x,y,z)，只要经过这个矩阵的变换，则最终都被映射到了 [-1,1] 的空间了。其中包括 x 和 y 和 z。上面已经提到 Unity 里面采用的是 OpenGL 的映射方式，将 z 映射到 -1 到 1 之间。

下面我们准备两个立方体：

立方体1
立方体2
摄像机

立方体1 的坐标是 (0,0,1)，立方体2 的坐标是 (0,0,4)，他们都是摄像机的子节点，而摄像机的坐标是 (0,0,0)。也就是 立方体1 的最终世界坐标是 (0,0,1)，立方体2 的最终坐标是 (0,0,4)。

我们推测下，由于，摄像机的近平面是 1，远平面是 4，所以可以推测，立方体1 的 z=1，最终被映射到了-1，而 立方体2 的 z=4，最终被映射到了 1。

映射代码如下：

Debug.LogError(Camera.main.projectionMatrix.MultiplyPoint(Camera.main.worldToCameraMatrix.MultiplyPoint(cube.transform.position)));
Debug.LogError(Camera.main.projectionMatrix.MultiplyPoint(Camera.main.worldToCameraMatrix.MultiplyPoint(cube2.transform.position)));

其输出是：

推测正确。

下面，再来，我们试图将 立方体1 的 y 变为 2，而 立方体2 的 y 变为 -1，看其 y 轴映射对不对。我们上面知道了摄像机的 t=3，b=-3。所以，推测 立方体1 的 y，映射应该是 2/3=0.6667 而 立方体2 的 y，映射为 -1/3=-0.3333