数据结构与算法笔记3 栈Stack和队列Sequence

吞吴
91 阅读8分钟

1. 栈的定义

栈是只允许在一端进行插入或删除操作的线性表。

逻辑结构：与普通线性表相同。 数据运算：插入、删除操作有区别。

1.1 重要术语：栈顶、栈底、空栈

栈顶：允许插入和删除的一端。 栈底：不允许插入和删除的一端。

特点：后进先出。LIFO Last In First Out

1.2 栈要实现的基本操作

  1. 初始化栈（创）
  2. 销毁栈（销）
  3. 进栈：若栈s未满，则将x加入使之成为新的栈顶。（增）
  4. 出栈：若栈s非空，则弹出栈顶元素，并用x返回。（删）
  5. 读栈顶元素：若栈s非空，则用x返回栈顶元素。（查）
  6. 判断栈是否为空。

nn 个不同元素进栈，出栈元素不同排列的个数为 1n+1C2nn \frac{1}{n+1}C^{n}_{2n} 。该公式称为卡特兰数（Catalan）

2. 顺序栈：用顺序存储的方式实现的栈

基本操作:创、销、删、查、判空、判满

2.1 顺序栈的基本操作

2.1.1 顺序栈基本操作：初始化操作、判空

image.png

2.1.2 顺序栈基本操作：进栈

image.png

2.1.3 顺序栈基本操作：出栈

image.png

2.1.4 顺序栈基本操作：读栈顶元素

跟出栈区别仅有不改变top游标指针 image.png

top初始化也可以设为 0 :

则判空和判满的条件改变，判空为 s.top = 0; 判满为 s.top = MAXSIZE

进栈和出栈代码也发生相应变化：

进栈
    s.data[s.top++] = x;
出栈
    x=s.data[--s.top];

2.2 共享栈

顺序栈容量不可以改变，可以通过链式存储或设置较大内存空间解决，为避免初始设置较大内存空间的浪费，可以设置共享栈。

image.png

3. 链栈：用链式存储实现的栈

本质是只能一端进行插入和删除的单链表。

image.png

推荐使用不带头结点的链表实现。

3.1 示例：

3.1 定义链栈的存储结构

typedef int Elem;  
typedef struct Snode{
	Elem data;  //数据类型，这样定义容易修改
	Snode *next;
}Snode, *LinkList;

3.2 初始化

void initStack(LinkList &s){ // 初始化
s = NULL;
return;
}

3.3 判断栈空

bool isEmpty(LinkList &s)
{
    return (s == NULL);
}

3.4 入栈

void push(LinkList &s){ // 入栈 
	Elem e;
	Snode *p;
	printf("入栈的值：\n");
	scanf("%d",&e);	
	p = new Snode;
	p->data = e;
	p->next = s; 
	s = p;
	return;
}

3.5 出栈

void pop(LinkList &s){  // 出栈 
    Elem e;
	if(isEmpty(s)){
		printf("栈空\n");
		return;
	} 
	e = s->data;
	LinkList p = s;
	s = s->next;
	delete p;
	printf("%d 出栈成功\n",e);
	return;	
}

3.6 获取栈顶元素并返回

Elem getTop(LinkList &s)
{
    if(!isEmpty(s))
    {
        printf("%d\n",s->data);
        return s->data;
    }
}

3.7 遍历栈

void show(LinkList &s){ // 显示栈 
	if(!isEmpty(s)){
		LinkList p = s;
		while(p != NULL){
			printf("%d  ",p->data);
			p = p->next;
		}
		printf("\n");
		return;
	}
}

3.8 清空栈


void toEmpty(LinkList &s){  // 清空 
	LinkList p;
	while(s != NULL){
		p = s;
		s = s->next;
		delete p;
	}
	return;
}

4. 队列

只允许在一端插入，在另一端删除的线性表。

4.1 重要术语：队头、队尾、空队列

队头：允许删除的一端。

队尾：允许插入的一端。

特点：先进先出。FIFO First In First Out。

image.png

4.2 基本操作

  1. 初始化队列，构造一个空队列。
  2. 销毁队列，销毁并释放队列Q所占用的内存空间。
  3. 入队，若队列Q未满，将x加入，使之成为新的队尾。
  4. 出队，若队列Q非空，删除队头元素，并用x返回。
  5. 读队头元素，若队列Q非空，则将队头元素赋值给x。

5. 顺序存储实现队列

可以通过静态数组实现队列的数据元素，设置两个标记队列的队头和队尾。 定义为：

# define MAXSIZE 10
typedef struct 
{
	int data[MAXSIZE]; 
	int front, rear; //这种情况下为了区分判空和判满需要浪费一个存储空间
	//int size; 可以用来判空判满的另一种辅助方式
	//int tag;  可以用来判空判满的另一种辅助方式，插入时tag置为1，删除时为0
}SqQueue;

5.1 顺序队列的基本操作：初始化和判空操作

image.png

5.2 顺序队列的基本操作：判满操作

为了避免浪费存储空间，顺序队列通常采用循环结构，即循环队列。其形式如下： image.png 在此情况下采用上述的数据结构定义方式，会导致判断队列空满为一个形式，因此此处采用：

//判断队满，循环队列情况下，在此种定义方式中判断队满需要浪费一个存储单元
bool isFull(SqQueue q) 
{
	return ((q.rear + 1) % MAXSIZE == q.front);
}

也可以采用数据结构定义中增加记录队列状态的参数。

5.2 顺序队列的基本操作：入队（只能从队尾插入）

image.png

5.3 顺序队列的基本操作：出队（只能从队头出队）

//出队
bool OutQueue(SqQueue& q, int x) 
{
	if (isEmpty(q)) //判断队空
		return false;
	x = q.data[q.front];
	q.front = (q.front + 1) % MAXSIZE; //队头指针后移
	return true;
}

5.4 顺序队列的基本操作：获取队头元素的值

//获取队头元素的值
bool OutQueue(SqQueue& q, int x)
{
	if (isEmpty(q)) //判断队空
		return false;
	x = q.data[q.front];
	//跟出队操作的区别就是没有队头指针后移
	return true;
}

注意：队尾指针可能指向队尾元素，而非队尾元素的后一个位置（下一个应该插入的位置），那么代码会有区别。

判空:
     (q.rear+1)% MAXSIZE = q.front
判满：
     牺牲一个存储单元或增加一个辅助变量

6. 链队列：链式存储实现队列

6.1 链式存储队列的定义

image.png

6.2 链式存储队列的基本操作：初始化和判空

1） 带头结点

image.png

2） 不带头结点

image.png

6.3 链式存储队列的基本操作：入队

1） 带头结点

image.png

2） 不带头结点

注意第一个元素入队的处理。

image.png

6.4 链式存储队列的基本操作：出队

1） 带头结点

注意最后一个元素出队的处理。 image.png

2） 不带头结点

注意最后一个元素出队的处理。 image.png

链式存储一般不会队满，除非内存不足。

7. 双端队列

只允许从两端插入、两端删除的线性表。 同时还有输入受限的双端队列和输出受限的双端队列。 若数据元素输入序列为 1,2,3,...,n, 1,2,3,...,n,,则输出序列有 Ann=n! A^{n}_{n} = n! 种。

8. 栈的应用

8.1 括号匹配

利用栈的先进后出特性，遇到左括号就入栈，遇到右括号就将左括号出栈。

image.png

image.png

8.2 表达式求值

8.2.1 中缀表达式

中缀表达式由操作符、运算符、界限符三部分组成，中缀表达式中界限符是必不可少的。

image.png

8.2.2 后缀表达式（逆波兰表达式）

中缀转后缀的方法，机算转换遵循左优先原则，可保证运算顺序唯一，遵循左优先原则。 image.png 后缀表达式的手算方法，每遇到一个运算符，就让运算符前面最近的两个操作数执行对应运算，合体为一个操作数。应注意两个操作数的左右顺序。

1）中缀表达式转后缀表达式（机算）

image.png

2) 用栈实现后缀表达式计算

    1. 从左往右扫描下一个元素，直到处理完所有元素
    1. 若扫描到操作数则压入栈，并回到1，否则执行3
    1. 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到1
  • 注意：先出栈的是右操作数

3）用栈实现中缀表达式的求值

相当于中缀转后缀表达式和后缀表达式计算的结合。

    1. 初始化两个栈，操作数栈和运算符栈。
    1. 若扫描到操作数，压入操作数栈
    1. 若扫描到运算符或界限符，则按照“中缀转后缀”相同的逻辑亚茹运算符栈（期间也会弹出运算符，每当弹出一个运算符时，就需要再弹出两个操作数栈的栈顶元素并执行相应运算，运算结果再压回操作数栈）

8.2.3 前缀表达式（波兰表达式）

中缀转前缀的方法，机算转换遵循右优先原则，只要右边的运算符能先计算，就优先算右边的。

image.png

1)用栈实现前缀表达式计算

    1. 从右往左扫描下一个元素，直到处理完所有元素
    1. 若扫描到操作数则压入栈，并回到1，否则执行3
    1. 若扫描到运算符，则弹出两个栈顶元素，执行相应运算，运算结果压回栈顶，回到1
  • 注意：先出栈的是左操作数

8.3 栈用：递归

函数调用特点：最后被调用的函数最先执行结束（LIFO）

8.3.1 函数调用背后过程

image.png

8.3.2 栈在递归中的应用

image.png image.png

1）递归缺点：

效率低，太多层递归可能会导致栈溢出，可能包含很多重复计算

解决方法可以尝试： 自定义栈将递归算法改造成非递归算法？

9. 队列的应用

9.1 队列应用：树的层次遍历

每处理一个结点，将该结点的左右孩子放在队尾，处理完的结点在头部出队。

9.2 队列应用：图的广度优先遍历

9.3 队列在操作系统中的应用

多个进程争抢着使用有限的系统资源时，FCFS（First Come First Service 先来先服务）是一种常用策略。

EG：打印数据缓冲区：用队列组织打印数据

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