离散非周期傅立叶变换导出

思路和连续的完全一样，直接给出

x[n] = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega \\ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^\infty x[n] e^{-j\omega n}

其实这个非常鲁，他就是把原本时域信号的所有值全部映射到不同的频率上。

和周期情况一样，不同于连续状况， $\omega$ 只要到了 $2\pi$ 就是转整数圈了，因此并不是 $\omega$ 越大频率越高，而是在 $\pi$ 的偶数倍附近对应低频分量，在奇数倍附近对应高频分量。

收敛性问题讨论也比较简单，因为是有限项，只需要 $x(t)$ 能量有限即可。

统一周期与非周期

和连续情况完全一样： $X(e^{j\omega})=2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0)$

设 $x[n]$ 的傅立叶变换为 $X(e^{j\omega})$

周期性： $X(e^{j(\omega+2\pi)})=X(e^{j\omega})$
线性： $ax[n]+by[n], FS: aX(e^{j\omega})+bY(e^{j\omega})$
时移： $x[n-n_0], FS: e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})$
频移： $e^{j\omega_0n}x[n], FS: X(e^{j(\omega-\omega_0)})$
共轭： $x^*[n]=X^*(-j\omega)$ ， $Ev(x[n])->Re(X(j\omega))$ , $Od(x[n]) -> jIm(X(j\omega))$
求和： $\sum_{m=-\infty}^n x[m], FS: \frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0})\sum_{k=-\infty}^\infty\delta(\omega-2\pi k)$
反转： $x[-n], FS: X(e^{-j\omega})$
尺度压缩， $x[n/k]$ ,不取整数是为0，k没法小于1，不然只是起到了过滤作用。 $FS: e^{jk\omega}$
频域微分： $nx[n], FS: j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega}$
帕斯瓦尔定理： $\sum_{n=-\infty}^\infty|x[n]|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega$
卷积： $y=x[n]*h[n], FS: Y(e^{j\omega})=X(e^{j\omega})H(e^{j\omega})$
相乘： $x[n]y[n], FS: \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\theta})Y(e^{j(\omega-\theta)})d\theta$
奇偶性和之前一样

其中 $x_e[n]=\frac{1}{2}(x[n]+x^*[-n]), x_o[n]=\frac{1}{2}(x[n]-x^*[-n])$

注意变换的前提是绝对可加或平方可加，但对于 $x[n]=1$ 这个冲激串，他的傅立叶变换是人为定义的，他的冲激面积无穷大所以确实不收敛，但是带入逆变换确实可以恢复。涉及 $\delta$ 函数的严谨证明需要用到广义函数理论，超出范围，所以记住几个特殊的就可以了。

因为离散的周期信号，他的傅立叶系数 $a_k$ 也是周期的，所以本身也可以看作一个离散周期信号。这里面蕴含了对偶性。考虑下面的公式

f[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}g[k]e^{-jk\omega_0n}

这个式子本身就是一个傅立叶变换，因此 $g$ 的变换后的系数就是 $f$ ，另一方面，如果我们把k替换成-k，那么

f[n] = \sum_{k=0}^{N-1}\frac{1}{N} g[-k]e^{jk\omega_0n}

这是一个离散傅里叶级数表示，而 $\frac{1}{N} g[-k]$ 就是f的傅立叶系数。总结一下就是，如果 $g[n], FS: f[n]$ ，那么 $f[n], FS: \frac{1}{N} g[-k]$

$\sum_{k=0}^Na_ky[n-k]=\sum_{k=0}^Mb_kx[n-k]$

根据第四章的思路，可以得到 $H(e^{j\omega})=\frac{\sum_{k=0}^M b_ke^{-jk\omega}}{\sum_{k=0}^Na_ke^{-jk\omega}}$