推广到非周期

思想：看作是周期的，然后周期无穷大

对一个非周期但是有限的信号 $x(t)$ ，我们先考虑 $\tilde{x}(t)$ ，他就是在那些 $x(t)$ 为0的地方也补充成一个周期信号。

那么对于 $\tilde{x}(t)$ ，可以用第三章的结论

\tilde{x}(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{jk\omega_0t} \\ a_k = \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} \tilde{x}(t)e^{-jk\omega_0t}dt

因为 $x(t)$ 是有限的，所以对一个周期积分和对所有区域是一样的，因此

a_k = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jk\omega_0t}dt

定义 $X(jk\omega_0) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-jk\omega_0t}dt$ ，那么有

a_k = \frac{1}{T}X(jk\omega_0) \\ \tilde{x}(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t} = \sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{2\pi}X(jk\omega_0)e^{jk\omega_0 t} \omega_0

随着T的无限增大， $\omega_0$ 无限变小，所以求和过渡成为一个积分。把 $k\omega_0$ 整体看作积分变量。

x(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty X(j\omega)e^{j\omega t} d\omega \\ X(j\omega) = \int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-j\omega t}dt

至此，可以看到 $x$ 和 $X$ 内在的和谐性。可以这么理解，对于周期信号，我们只需要对谐波加权求和就可以复原信号，但是对于非周期信号，可以是无穷多的频率信号的求和，所以他的系数 $a_k$ 就不是整数了，而是一个关于频率的函数。而他的基也不是有限的了，而是频率可以取任何值的 $e^{j\omega t}$

而且事实上， $x(t)$ 也可以是无限的，利用第三章类似的分析方法，可以得到两种判定方法。

如果 $\int_{-\infty}^\infty |x(t)|^2dt < \infty$ ，那么从能量的角度这个变换是收敛的。

也可以用更为严格的狄利克雷条件1）绝对可积 $\int_{-\infty}^\infty |x(t)|dt < \infty$ ,2) 有限区间内 $x(t)$ 有有限的最值，3）有限区间不连续点有限且值有限。

在计算过程中的一个重要积分

X(j\omega)=\int_{-T_1}^{T_1} e^{-j\omega t}dt=2\frac{\sin \omega T_1}{\omega}

这种 $\sin a\omega/(b\omega)$ 的形式经常出现，所以引入 $sinc$ 函数 $sinc(x)=\sin\pi\theta/(\pi\theta)$

统一周期与非周期

$X(j\omega)$ 实现了非周期信号的表示，那周期信号能否也统一起来呢，可以，方法是令 $X(j\omega)=2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k\delta(\omega-k\omega_0)$

那么带入傅立叶反变换，可以得到 $x(t)=\sum_k a_k e^{jk\omega_0t}$

性质

设 $x(t)$ 变换为 $X(j\omega)$ , $y(t)$ 变换为 $Y(j\omega)$ ，那么

线性： $ax(t)+by(t), FS: aX(j\omega)+bY(j\omega)$
时移： $x(t-t_0), FS: e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$
频移： $e^{j\omega_0t}x(t), FS: X(j(\omega-\omega_0))$
共轭： $x^*(t), FS: X^*(-j\omega)$
时间反转： $x(-t), FS: X(-j\omega)$
伸缩： $x(at), FS: \frac{1}{|a|}X(\frac{j\omega}{a})$
卷积： $x(t)*y(t), FS: X(j\omega)Y(j\omega)$
相乘： $x(t)y(t), FS: \frac{1}{2\pi}X(j\omega)*Y(j\omega)$
时域微分： $\frac{dx(t)}{dt}, FS: j\omega X(j\omega)$
频域微分： $j dX(j\omega)/d\omega, InverseFS: tx(t)$
积分： $\int_{-\infty}^t x(t)dt, FS: \frac{1}{j\omega}X(j\omega) + \pi X(0)\delta(\omega)$
实信号：若x为实函数，则 $X(-j\omega)=X^*(j\omega)$ ， $X(j\omega)$ 与 $X(-j\omega)$ 的实部相等、虚部相反数、模相等、相位相反
$x(t)$ 实偶信号， $X(j\omega)$ 实且偶
$x(t)$ 实奇信号， $X(j\omega)$ 纯虚且奇
若 $x(t)=x_e(t)+x_o(t)$ 奇偶分解，那么 $x_e(t)=Re\{X(j\omega)\}, x_o(t)=jIm\{X(j\omega)\}$
帕斯瓦尔定理： $\int_{-\infty}^\infty|x(t)|^2dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-infty}^\infty|X(j\omega)|^2d\omega$

常用的傅立叶变换对

第2个有typo，应该没有k。

需要用到的常用计算

$\int_{-\infty}^\infty e^{-j\omega t}dt = 2\pi \delta(\omega)$

含义：周期信号的傅立叶变换是冲激函数
$\int_{-\infty}^\infty \delta(t-t_0) x(t)dt = x(t_0)$

微分方程表征的系统

回忆一下第三章， $e^{j\omega t}$ 这种复指数信号是LTI的特征信号，即输出信号是在他的基础上乘了一个系数，这个系数是： $H(j\omega)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau$ ，配合前面的傅立叶变换式 $X(j\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t) e^{-j\omega t}dt$ ，所以其实这种大写字母的表示是统一的。变成大写字母，就意味着进行了一次乘特征信号然后时域积分的操作。

因此，对一个LTI系统， $y(t)=h(t)*x(t)$ ，按照傅立叶变换的性质，在频域上有 $Y(j\omega)=H(j\omega)X(j\omega)$ ，因此 $H(j\omega)=Y/X$

对于一个由微分方程表示的LTI系统

\sum_{k=0}^N a_k \frac{d^ky(t)}{dt^k}=\sum_{k=0}^N b_k \frac{d^kx(t)}{dt^k}

两侧傅立叶变换，按照线性性和傅立叶求导性质，可得

\sum_{k=0}^N a_k (j\omega)^kY(j\omega)=\sum_{k=0}^N b_k (j\omega)^kX(j\omega) \\ H(j\omega) = \frac{Y(j\omega)}{X(j\omega)}=\frac{\sum_{k=0}^N b_k (j\omega)^k}{a_k (j\omega)^k}

4 连续时间傅立叶变换

推广到非周期

统一周期与非周期

性质

常用的傅立叶变换对

微分方程表征的系统