上一章发现把一个信号表示为单位冲激的线性组合，在LTI系统的分析中会很有用。但是单位冲激有个小问题，就是系统对单位冲击的响应的形式是不确定的，有没有可能类似线性代数找特征向量那样，找到一组基信号，使得系统响应之后还是基信号的形式，只是系数变了呢？答案是有，那就是利用谐波作为基，不过谐波是在周期信号的语境下才有的，所以本章考虑周期信号的复指数信号基表示。

连续情况

LTI对复指数的响应还是复指数，所以可作为基信号

这个很简单，比如一个复指数信号 $x(t)=Ae^{i\omega t}$ ，那么设LTI对单位冲激的响应为 $h(t)$ ，那么LTI的输出可以表示为 $y(t)=\int_{-\infty}^\infty x(t-\tau)h(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^\infty Ae^{i\omega t}e^{-i\omega\tau} h(\tau)d\tau =Ae^{i\omega t} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega\tau}h(\tau)d\tau=H(\omega)Ae^{i\omega t}$ ，说明周期复指数信号在LTI的输出还是周期复指数信号，只是系数变了。

离散情况完全一样 $y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty A z^{n-k}\delta[k]=Az^n\sum_{k=\infty}^\infty z^{-k}\delta[k]=H(\alpha)Az^{n}$

remark: 这里假设了积分和求和是收敛的。

上面的结果启发我们，如果能够把一个信号表示为一系列复指数信号的和，那么经过LTI可以分别求出对每一个复指数信号的响应（很容易依据LTI对单位脉冲的响应计算出对复指数信号基的响应），然后求和。接下来的问题在于，如何把一个周期信号表示成一组复指数信号。

如何用复指数表示一个信号

对于形式比较简单的信号，也许可以利用欧拉关系变成 $e^{i\omega t}$ 的形式，那相当于直接表示了。对于更一般情况，如果信号的基波频率和基波周期是 $\omega, T$ ，那么傅里叶级数的表示是使用这个基波的谐波求和来表示这个信号，即

x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt}

能不能写成这个形式是下一章讨论的内容，假设能写成这个形式，那么系数如何确定呢？这里的思路如下: 两侧同乘 $e^{-j\omega_0 nt}$ ，在基波周期内积分。

\int_{T} e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt = \int_{T} e^{-j\omega_0 nt} \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt} dt \\ =a_k \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{T}e^{j\omega_0(k-n)t}dt \\ = a_k \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{T}\cos(\omega_0 (k-n)t) + j\sin(\omega_0(k-n)t) dt

当k = n时，等号右边的积分是 $T$ ，不等于n的时候，频率是基波频率的整倍数，而三角函数一个周期的积分是0，所以整倍数积分也是0，因此系数求解的重要公式就得到了。

a_n = \frac{1}{T}\int_T e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt

这个公式配合前面 $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j\omega_0kt}$ 就是傅立叶变换了。

这个表示的可行性

定义误差

首先要定义傅立叶变换和原始信号之间的误差，很自然想到均方误差，因为是周期信号只需要考虑一个周期内部，因此定义： $e(N) = \int_T |x(t) - \sum_{k=-N}^N a_k e^{j\omega_0 t}|^2 dt$

这也是能量的定义，其实衡量两个分布我们可能也会想到用KL散度等其他度量，但是这里使用能量是更具有现实意义的，因为物理世界的信号处理系统通常都是根据能量处理。

系数合理的条件

为了保证傅立叶变换的可行性，首先需要保证系数是合理的值，这要求积分 $\int_T e^{-j\omega_0 nt} x(t) dt$ 收敛，这个很容易保证。只要 $\int_T |x(t)|^2 dt$ 收敛即可。

从实用性的角度，这个条件是很容易满足而且很好验证的，只要输入信号在一个周期内能量有限即可。严格的数学证明可以保证，N趋于无穷的时候满足这个条件的信号 $e(N)$ 趋于0，说明从能量的角度这个表示是有意义的。（注意并不是说所有的点取值都相等，而是说一个周期内能量相等）

更严格的条件

狄利克雷发现了更严格的条件，满足这个条件的信号，其傅立叶级数保证在连续点上值等于原始信号，而不连续的点值等于两侧极限的平均值。这个条件有三个：1）周期内绝对可积（ $\int_T |x(t)|dt<\infty$ ），2）周期内最大值和最小值数量有限（不会无限震荡），3）有限区间内的不连续点有限且值有限。

这三个条件现实中的信号也几乎都满足，因此傅立叶变换在多数情况下不仅可以保证能量相等，在连续部分取值也是相等的。这就非常强了。

吉布斯现象：在收敛的过程中，不连续点处会出现高频起伏和超量，峰值大小保持不变。一个例子就是理想低通滤波器，它对于所有 $\omega$ 并不是一致收敛的，并且在 $\omega_c$ 处震荡起伏。

傅立叶变换的性质

线性：如果 $x(t)$ 和 $y(t)$ 的傅立叶系数分别为 $a_k,b_k$ ，周期相同，那么 $Ax(t)+By(t)$ 的系数为 $Aa_k+Bb_k$
时移性质： $x(t)$ 傅立叶系数为 $a_k$ ，那么 $x(t-t_0)$ 的系数为 $e^{-j\omega_0 k t_0}a_k$ ，模不变。往右平移后，原本t时刻的值变成了之前的值，所以相位要往回拨
时间反转： $x(-t) FS: a_{-k}$
频率伸缩：系数不变，但是那一组复信号基变了
相乘： $x(t)y(t) FS: h_k = \sum_{l=-\infty}^\infty a_l b_{k-l}$
取共轭： $x^*(t) FS: b_k = a^*_{-k}$
奇偶性：实偶信号 $a_k=a_{-k}$ 且为实，实奇信号 $a_k = -a_{-k}$ 且纯虚
帕斯瓦尔定理： $\frac{1}{T}\int_T |x(t)|^2 dt = \sum |a_k|^2$ ，这个展开成傅立叶求积分很容易证。他的意义是，信号的总平均功率等于所有谐波分量平均功率的和。从傅立叶系数求解的公式可以看到，这个系数本身就是某个谐波的周期平均功率。
导数： $\frac{dx(t)}{dt} FS: j\omega_0k a_k$
积分： $\int_{-\infty}^t x(t)dt FS: \frac{1}{jk\omega_0}a_k$ 需要满足 $a_0=0$ 保证周期性和有限，使傅立叶变换有意义。
周期卷积： $\int_T x(\tau)y(t-\tau)d\tau FS:c_k = Ta_kb_k$

利用上述性质求解傅立叶系数

比如先求方波信号，在利用时移变换、求导得到其他方波和三角波周期信号

离散

傅立叶变换

在第一章就发现，离散信号要想有周期，他的频率应该是 $\pi$ 的有理数倍，并且他的谐波是有限的，这是因为超过N就会和之前某一个刚好差 $2\pi$ ，因此对于基波周期为N的信号，他的一组谐波为 $\phi_k[n] = e^{j\omega_0kn}=e^{j(2\pi/N)kn}$ ，这里k取0, ..., N-1。

那么，如果 $x[n] = \sum_{k=0}^{N-1}a_k\phi_k[n]$ ，其实可以通过取 $x[0], ..., x[N-1]$ 联立方程组求解。如果延续和连续时间信号一致的思路，那应该考虑对这个等式左右两侧乘 $e^{-j\omega_0rn}$ ，再在一个周期内求和。于是

\sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j\omega_0rn} = a_k \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{k=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n} \\ = \sum_{k=0}^{N-1} a_k \sum_{n=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n}

对右侧，如果 $r=k$ ，那么很明显右侧就是 $Na_k$ ，而对 $r\ne k$ ， $\sum_{n=0}^{N-1} e^{j\omega_0(k-r)n} = 0$ 。所以可以得到离散傅立叶变换形式

x[n] = \sum_{k=0}^{N-1} a_k \phi_k[n] \\ a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\omega_0kn}

这就很好了，因为 $a_k$ 有限，所以不存在误差，只要能求出来肯定就是准的。不需要讨论收敛问题。

性质

多数和连续的一样

线性：如果 $x[n]$ 和 $y[n]$ 的傅立叶系数分别为 $a_k,b_k$ ，周期相同，那么 $Ax[n]+By[n]$ 的系数为 $Aa_k+Bb_k$
时移性质： $x[n]$ 傅立叶系数为 $a_k$ ，那么 $x[n-n_0]$ 的系数为 $e^{-j\omega_0 k n_0}a_k$ ，模不变。
频移： $x[n]$ 变为 $e^{jM\omega_0 n}x[n]$ , $a_k$ 变为 $a_{k-M}$
时间反转： $x[-n] FS: a_{-k}$
频率伸缩： $x_{(m)}[n]$ ，相当于 $x[n/m]$ ，如果不整除则取值为0。此时 $b_k=a_{k}/m$
相乘： $x[t]y[t] FS: h_k = \sum_{l=0}^{N-1} a_l b_{k-l}$
取共轭： $x^*[n] FS: b_k = a^*_{-k}$
奇偶性：实偶信号 $a_k=a_{-k}$ 且为实，实奇信号 $a_k = -a_{-k}$ 且纯虚
帕斯瓦尔定理： $\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1} |x[r]|^2 = \sum_{k=0}^{N-1} |a_k|^2$ ，注意系数求和只是一个周期内部
一阶差分： $x[n] - x[n-1] FS: (1-e^{-jk\omega_0})a_k$
求和： $\sum_{r=-\infty}^n x[r] FS: \frac{1}{1 - e^{-jk\omega_0}}a_k$ 需要满足 $a_0=0$ 保证周期性和有限，使傅立叶变换有意义。
周期卷积： $z[n] = \sum_{r=0}^{N-1} x[r]y[n-r] FS:c_k = Na_kb_k$

LTI下的傅立叶级数响应

连续： $H(s)=\int_{-\infty}^\infty h(\tau)e^{-s\tau}d\tau$
离散： $H(z)=\sum_{k=-\infty}^\infty h[k]z^{-k}$

3 周期信号的傅立叶变换