gcd(a, b) = gcd(b, a % b)的证明

首先假设存在$a,b,c$这三个数，若其满足$a = q*b + c$ ，证明：$(a, b) = (b, a \mod b)$

证明：

$\because$首先可以由$(a, b)$可知，$(a, b) | a$，$(a, b) | b$ ；

$\therefore$由上式可知：

$$c=q1*(a, b)-q2*q*(a, b)=(a,b) *(q1 - q2 * q)$$

$\therefore$可知$(a,b) | c$。

$\therefore$ 可知$(a,b)|b,(a, b)|c$ ；故$gcd(a,b)$ 是$b$，$c$的一个公因子；故有：

$$(a,b)\leqslant (b,c)$$

同理，可以知道$(a,b)\geqslant (b,c)$ ；那么可知$(a,b)=(b,c)$；即$gcd(a,b)=gcd(b,a \mod b)$ ;

此等式是欧几里得算法能够计算出$gcd$的保障。

代码实现如下:

通过上述等式来理解，当$a \mod b = 0$那么就不用递归，直接返回$gcd(a,b)= b$即可

func gcd(a, b int) int {
    if a % b == 0 {
        return b
    }
    return gcd(b, a % b)
}

还有一种写法，就是不断的递归下去，$b$会等于$0$ ，那么当$b$等于$0$时，直接return a

func gcd(a, b int) int {
    if b == 0 {
        return a
    }
    return gcd(b, a % b)
}

Q&A

Q：$gcd(a,b)=gcd(a,a\mod b)$成立吗？

A：很显然无法证明。具体证明方法如上。