信号、功率和能量

信号：一个很抽象的概念，一般来说是一个随时间变化的量。时间可以连续，可以离散。

功率和能量

连续时间

$E = \int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt$
$P = \frac{1}{t_2-t_1}\int_{t_1}^{t_2} |x(t)|^2 dt$
离散时间

$E = \sum_{k=n_1}^{n_2} |x[k]|^2$
$P = \frac{1}{n_2-n_1+1}\sum_{k=n_1}^{n_2} |x[k]|^2$

如果是求整个区间的极限状态，可以 $E_\infty = \lim_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^{T} |x(t)|^2 dt$

这样来说，信号可以分为三种：总能量有限信号、总平均功率有限信号、全都无限信号。

自变量变换

简单操作

平移：左加右减、伸缩：乘除
周期性

连续信号： $x(t+T)=x(t) \forall t$
离散信号： $x[n+N]=x[n] \forall n$
奇偶分解

奇信号和偶信号的定义和奇函数偶函数一样。
对任意一个信号 $x(t)$ ，可以分解为一个奇信号和偶信号
奇信号： $Od(x(t)) = \frac{1}{2} (x(t) - x(-t))$
偶信号： $Ev(x(t)) = \frac{1}{2} (x(t) + x(-t))$

指数信号

连续

形式： $x(t)=Ce^{\alpha t}$

case 1 $C, \alpha$ 全是实数

那就是非常简单的指数函数。
case 2 $C$ 是实数， $\alpha$ 是纯虚数。

非常常用的几个变换
$e^{i\theta} = \cos(\theta) + i\sin(\theta)$
$\cos(\theta) = \frac{1}{2}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})$
$\cos(\theta)=Re(e^{i\theta}), \sin(\theta)=Im(e^{i\theta})$
$|e^{i\theta}|=1, e^{i 2\pi}=1$
case 3 $C$ 是实数， $\alpha$ 是一般复数。

$Ce^{(a+bi)t}=Ce^{at}e^{bit}$
这种情况和下面的一起处理
case 4 $C$ 是一般复数， $\alpha$ 是一般复数。

把 $C$ 写成极坐标的形式，有 $C=|C|e^{i\phi}$ ，这里 $\phi$ 是复平面上C和实轴正方向的夹角。
那么 $Ce^\alpha t=|C|e^{i\phi}e^{(a+bi) t}=|C|e^{at}e^{i(bt +\phi)}$
此时case 3不过是case 4的一个特殊情况。这个情况的特点是 $|C|e^{at}$ 指数分布包络了信号的振幅，后面 $e^{i(bt +\phi)}$ 是一个周期信号。

周期性

$Ce^{i\omega t}=Ce^{i \omega (t+T)}\equiv e^{t\omega T}=1$ ，即 $\omega T=2m\pi$ ，其中m是整数。 $T=\frac{2m\pi}{\omega}$ 。这个和高中学的完全一样。并且，使得 $T$ 取最小正整数时，称为基波周期。其他频率为 $T$ 的整数倍，称为一组谐波。

重要变形

$e^{i2t} + e^{i3t}=e^{i2.5t} (e^{-i0.5t} + e^{i0.5t})=2e^{i2.5t}cos(0.5t)$

前面 $e^{i2.5t}$ 的模长为1，所以如果取模的话信号就变成了 $2|\cos(0.5t)|$

离散

形式： $x[n]=Ce^{\beta n} = C\alpha^n$ 。虽然第一种形式更统一但第二种更实用。4个case的处理完全一样。主要是周期性讨论不一样。

不同点: 周期性

频率取值范围有限。
可以看到 $e^{i\omega n}$ 这个信号每当n增加1，信号增量是一整个 $\omega$ , 这一点非常重要。它直接导致两个结果。
1 如果 $\omega$ 超过 $2\pi$ ，很多都是白白转圈，没意义（ $e^{i(\omega+2\pi)n}=e^{i\omega n}$ ）。因此我们可以限制 $\omega \in [0, 2\pi)$ 之类的区间。
2 因为n带来信号的变化总是 $\omega$ 的整数倍，离散导致周期不能用 $2\pi/\omega$ 分析。其震荡性的规律为 $\omega$ 越接近区间的两端，震荡越小（n带来的增量总是集中在三角函数的整周期附近），越接近 $\pi$ 震荡越大（n带来的增量总是在三角函数的半周期和整周期交替）。

周期的定量分析。
$Ce^{i\omega n}=Ce^{i \omega (n+N)}\equiv e^{N\omega T}=1$ ，即 $N=2m\pi/\omega$ ，其中m是整数。
因为 $N$ 是一个整数，所以如果 $\omega$ 不能把 $\pi$ 约掉，那离散信号不存在周期，换句话说，周期重复总是落在非整数的点上，造成每次采样都会和之前错开一点点，就永远没有周期了。而如果 $\omega$ 把 $\pi$ 约掉了，我们发现 $N=2m'/k$ 的形式，其中 $m',k$ 都是整数并且最大公因数是1。这样总是可以取 $m'$ 为k的整数倍使得信号是周期的。同样，N取最小正整数的值为基波周期。
更进一步，如果基波周期为 $N$ ，那基波频率 $\omega=2\pi/N$ ，这样它的谐波为 $e^{i(2k\pi/N)n}$ ，我们发现k至多取0,2,...N—1，取N的时候这个信号恒为1，和取0一样。所以离散信号的谐波数量有限。

脉冲与阶跃

脉冲

离散： $\delta[n] = n == 0?1:0$
连续： $\delta(t) = (t == 0)?1:0$

阶跃

离散： $u[n] = n \ge 0?1:0$
连续： $u(t)= (t\ge 0)?1:0$

两者关系

离散： $\delta[n] = u[n] - u[n-1]$ , $u[n] = \sum_{m=-\infty}^n \delta[m]=\sum_{k=0}^\infty \delta[n-k]$
连续：这个很不严格，但是有理论基础。 $\delta(t) = \frac{du(t)}{dt}$ , $u(t)=\int_{-\infty}^t \delta(\tau)d\tau$

系统

所谓系统，就是把一个信号作为输入，输出一个信号的映射： $y=S(x)$ 。

基本性质

记忆性：输出信号是否依赖输入信号的历史输入（依赖则有记忆）
可逆性：输出信号和输入信号是否一一对应
因果性：输出信号只依赖于现在及过去的输入
稳定性：若输入信号有界，则输出信号有界
时不变性：当输入信号 $x(t)$ 变为 $x(t-t_0) \forall t_0$ ，输出信号 $y(t)$ 变为 $y(t-t_0)$
线性性： $y(t)=S(x_1(t)+x_2(t))=y_1(t) + y_2(t)$ 且 $y(t)=S(ax_1(t))=ay_1(t)$ ，注意a可以是复数。

习题

1-11 求信号 $1 + e^{ia\pi t} + e^{ib\pi t}$ 的基波周期，两个信号的基波周期分别为 $2/a$ 和 $2/b$ ，求最小公倍数即可。

1-14 周期函数 $x$ ，周期为2，在 $[0,1]$ 上是1，在 $(1,2)$ 上是-2，求他的导数。

这里首先涉及周期函数的求和表示技巧，我们可以另 $x_0$ 是一个周期内的表达式，那么 $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x_0(t-2k)$ 。然后在求导。这里求导也是用到了 $\delta$ ，根据图像可以看到 $x_0$ 导数为 $-3\delta(t) + 3\delta(t-1)$ ,带入求和式即可。

1 概述