day14 HJ56 完全数计算(Java)

题目来源： HJ56 完全数计算

题目描述：

• 描述: 完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。 它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。
  例如：28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。
  输入n，请输出n以内(含n)完全数的个数。
  数据范围: $1≤n≤5×105$
• 输入描述: 输入一个数字n
• 输出描述: 输出不超过n的完全数的个数

示例1:
输入：1000
输出：3

思路

反其道而行之，题目虽然求的是完全数，但是其实就是求一个数的所有约数，然后将除自身外的约数相加，结果等于自身，则为完全数。所以，题目的核心就是求一个数的所有约数。

具体实现：

import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args){
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int n = scanner.nextInt();
        int Sum = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++){
            if(Perfect(i)){
                Sum ++;
            }
        }
        System.out.println(Sum);
    }

    static boolean Perfect(int number){  //判断是否满足完全数
        int sum = 0;
        for(int i = 1;i <= Math.sqrt(number);i++){  
            if(number % i == 0){    //求每个数的约数
                if(number / i == i){   //如果除数和商相同，那么只保留一个作为约数，
                                       //达到去重的效果
                    sum += i;   
                }else{        //如果除数和商不同，那么两个都保留作约数
                   sum += i;
                   sum += number/i;
                }
            }
        }
        //上述for循环，会将数的所有约数相加，但是其中包括自身
        //所以要将自身从求得的总数中减去
        if(sum-number == number){    
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
}

思路杂记

1.我们这道题的思路，其实就是用N除1到N的二次平方根，余数为0时，取除数及整除的结果，但是为什么除到二次平方根就可以了呢？

如果有非平方数N=a×b，其中a<b，那么一定有a<$\sqrt {N}$,b>$\sqrt {N}$，对于每一个小于$\sqrt {N}$的N的约数a，都有一个对应的b>$\sqrt {N}$，b也是N的约数，因此我们只需要遍历2到$\sqrt {N}$就可以了，每一次整除都对应了N的两个约数，最后只需要再考虑一下N是不是平方数就可以了。这样，时间复杂度就被优化到了$\sqrt {N}$

• 最后考虑N是不是平方数，是为了$\color{red}{去重}$

  if(number / i == i){   //如果除数和商相同，那么只保留一个作为约数
      sum += i;
  }
  

2.对于求一个数的约数，其实有很多种思路

• 思路1：给定的数N依次除以1到N的数，余数为0则是约数

static boolean Perfect(int number){
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i <= number;i++){
        if(number % i == 0){    
                sum += i;
        }
    }
    if(sum-number == number){ 
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}

• 思路2：对于一个数N，存在N/N==1，而N与1分别是数N的最大约数与最小约数，同理，次大约数就是N/2
  我们可以进一步减少循环的次数，N除以1到N/2， 余数为0为是约数

static boolean Perfect(int number){
    int sum = 0;
    for(int i = 1;i <= number/2;i++){
        if(number % i == 0){
                sum += i;
        }
    }
    if(sum == number){   //因为sum是从1加到次大约数，并没有+最大约数(数自身),所以无需减去自身
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}