在三维数中，就有四个解。
这种三维数的构造是：假设存在两个独立的虚数单位i和j，其中无论二者之和还是之积都保留作i+j和ij，而且保留实数的五条运算律，则 [公式] 。可以验证，在这种数系中，如果实数或只含有i作虚数单位的复数a和b是同一个实系数多项式的根，则 [公式] 和 [公式] 一定也是该多项式的根。特别地，1的平方根有四个，即1、-1、ij、-ij。所以，二次方程求根公式中的开平方，也要乘以这四种结果。所以，本问题也有四个解，即2、3、 [公式] 、 [公式] 。更一般地，在三维数中，n次方程恰有 [公式] 个根；在m(m≥2，下同)维数中则有 [公式] 个根。三维数a+bi+cj+dij同构于二阶矩阵，其中第一行为(a+bi, c+di)，第二行为(-c-di, a+bi)；四则运算就同构于矩阵运算。可以验证，这样的任意两个矩阵做乘法时都可交换。可以利用计算软件如Matlab、Maple、scilab等进行矩阵运算，从而进行三维数的四则运算。此外，（以Matlab为例）还可利用expm、logm等函数实现三维数的三级运算。众所周知，如果一个环中没有非0的致零因子，则ab=0可推出要么a=0，要么b=0。而在三维数中不满足这个性质，因为1+ij就是一个致零因子：(1+ij)(1-ij)= [公式] =1-1=0。一般地，如果一个高维数用矩阵表示后其行列式为0，则这个数就是一个致零因子；反之也成立。高维数的作用是一式多数，即同一个m维数可同时表示 [公式] 个实数或复数：除i外的虚数单位都可以赋i，也可以赋-i（同一表达式中相同的虚数单位只能同赋i或同赋-i）。例如，将j赋-i或i，则ij可以用来表示1，又可以表示-1；二者平方都是1，从而ij的平方是1。同理， [公式] 既可以表示数字2，又可以表示3。它用在含有正负号"±"的式子中表示的意义更简洁明确。如： [公式] 严格来说并不十分明确。因为不能说明左边取正号，右边就必须取正号，从而引起误解：该等式有四层含义，左边和右边可同取正号或负号，也可一正一负。而用三维数表示为 [公式] 就不会引起这种误解，因为规定在同一表达式中，相同的高维数只能取相同的值；相同的虚数单位（除i外）只能都表示i或都表示-i。此外，ij做指数时，还可以得到类似欧拉公式的恒等式： [公式] ，即 [公式] ，可同时表示α和1/α。如果想得到表示四维数A+Bk（其中A和B都是表示三维数的二阶矩阵，k为第三个虚数单位）的矩阵，则用一个四阶矩阵表示，其中前两行为(A, B)，后两行为(-B, A)。一般地，m维数可用 [公式] 阶矩阵表示。注：零维数表示正数，只有一种符号+1，相当于一点；一维数表示实数，有两种符号+1、-1，对应直线的两个方向；二维数表示复数，有四种符号+1、-1、+i、-i，对应平面四个象限；三维数同时表示两个复数，有八种符号+1、-1、+i、-i、+j、-j、+ij、-ij，对应空间中八个卦限；m维数中这样的符号表示m维空间中 [公式] 个m维卦限。
