斐波那契数列

斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89...
斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：

F_{n}^{} = F_{n-1}^{} + F_{n-2}^{}

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

这里我们直接给出通项公式：

F_{n}^{}=\frac{1}{\sqrt{5} } \left [ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)_{}^{n+1} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)_{}^{n+1} \right ]

使用通项公式的问题

为处理浮点数问题，我们引入模P数域，将问题由实数运算转变为整数运算，转为整数运算后便可用快速幂算法在 $O(logN)$ 复杂度求解。

f(x) = \begin{cases} x\ mod \ P, & \text{ if } x\in Z \\ a\times b^{-1} & \text{ if } x=\frac{a}{b}\in Q\setminus Z \\ a+b\times \sqrt{c} & \text{ if } x=a+b\sqrt{c},\ a,b\in Q,\ c \in N \end{cases} \\ a+b = f(a+b) \\ a\times b = f(a\times b) \\ -a = r,\ if\ a+r=0 \\ a_{}^{-1} = r,\ if\ a\times r=1\\ a-b = a+(-b)\\ a{\div} b = a\times b^{-1}\\ \sqrt{a} = r,\ if\ r\times r=a

我们选择 P = 84906529, 于是

\sqrt{5} \rightarrow \sqrt{5} = 35895593 \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \rightarrow 35895593^{-1} = 58123036 \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \rightarrow(1+35895593) \times 2^{-1} = 17947797 \\ \frac{1-\sqrt{5}}{2} \rightarrow(1-35895593) \times 2^{-1} = 66958733 \\ F_{n}^{}=58123036\times \left ( 17947797_{}^{n+1} -66958733_{}^{n+1} \right )

例子，取 n=10

\begin{array}{l} F_{10}=58123036 \times\left(17947797^{11}-66958733^{11}\right) \\ =58123036 \times(69036466-15870262) \\ =58123036 \times 53166204 \\ =89 \end{array}

【最讨厌做算法题的时候出现浮点数了，有什么方法可以避免？斐波那契数列和FFT均可适用！】 www.bilibili.com/video/BV1EM…